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第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
学习目标：1.了解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
自 主 学
习
一、知识链接
1.用直接开平方法解下列方程.
(1)9x2=1 (2)(x－2)2=2.
2. 你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2－2ab+b2=( )2.
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5 (2)x2+4x+1=0
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试 解方程： x2+6x+9 =5
填一填1 填上适当的数或式，使下列各等式成立.
(1)x2+4x+ = ( x + )2
(2)x2－6x+ = ( x－ )2
(3)x2+8x+ = ( x+ )2
(4)x2－ x+ = ( x－ )2
你发现了什么规律？
要点归纳：配方的方法：二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填2 x2+px+( )2=(x+ )2
想一想 怎样解方程x2+4x+1=0？
问题1 方程x2+4x+1=0怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
问题2 为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？
第 1 页 共 6 页要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
典例精析
例1 (教材p7例1)解下列方程：
(1) x2－8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2－6x+4=0.
练一练 解下列方程：
(1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)-2x2+6x-8=0.
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式：
①当p>0时，则 ，方程的两个根为 ， .
②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x=x=－n.
1 2
③当p<0时，则方程(x+n)2=0无实数根.
思考1 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2 用配方法解一元二次方程的一般步骤？
探究点2：配方法的应用
例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
练一练 应用配方法求最值.
(1) 2x2－4x+5的最小值； (2)－3x2 + 5x +1的最大值.
例3 若a，b，c为△ABC的三边长，且 ，试判断△ABC的形状.
归纳总结：
配方法的应用
类别 解题策略
1.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平
方等于16，即m2=16，m=±4.
第 2 页 共 6 页2.求最值或证明代数式的值为恒 对于一个关于x的二次多项式通过配方成 a(x+m)2＋n的形式后，
正(或负) (x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最
大值.
3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往
往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各
项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，
b=2.
三、课堂小结
配方法的定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
配方法的步骤 一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成(x+n)2=p (p≥0)；
四直接开平方法解方程.
配方法的应用 求代数式的最值或证明
当堂检
测
1.解下列方程.
（1）x2+4x－9=2x－11； （2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2－6x－3=0； （4）3x2+6x－9=0.
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
4.若 ，求(xy)z的值.
第 3 页 共 6 页5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：(1) (2)
2.a+b a-b
第 4 页 共 6 页3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的
形式，再利用开平方法求解.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试 解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得 ，∴ .
填一填1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4)
规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.
填一填2
问题1 解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.
问题2 解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加
上4.加其他的数不行.
典例精析
例1 解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得 ，∴
.
(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得 ，配方，得 ，即
.直接开平方，得 ，∴ .
(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得 ，配方，得 ，即 .
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
练一练 解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.直接开平方，得 ，
∴ .
(2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.直接开平方，得 ，∴ .
(3)整理，得x2-3x=－4，配方，得 ，∴原方程无实数根.
思考1 解：移项时需注意改变符号.
思考2 解：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤
解一次方程.
探究点2：配方法的应用
例2 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.k2－4k＋5 的值必定大于
零.
练一练 (1)解：原式 = 2(x - 1)2 +3，当x =1时，有最小值3.
(2)解：原式= -3(x -1)2 - 4，当x =1时，有最大值-4.
例 3 解 ： 对 原 式 配 方 ， 得 由 代 数 式 的 性 质 可 知
所以，△ABC为直角
三角形.
当堂检测
1.解：(1)此方程无解； (2) ； (3) ； (4)
2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.
第 5 页 共 6 页3.解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+ －1=－(x+ )2－ .∵－(x+ )2≤0，∴－(x+ )2－ ＜0.∴－x2－x－1的
值总是负数.当x=－ 时，－x2－x－1有最大值－ .
4.解：对原式配方，得 ，由代数式的性质可知
，∴ ∴
5. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
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