文档内容
21.3.2《菱形》同步练习
一、单选题
1．如图，在 中，添加下列条件仍不能判定 是菱形的是（）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ， ， ，则对角
线交点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形 中， ，点 在对角线 上，且 ，那么 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形 中， ， ， 交 于点 ， 于点 ，连接 ，
则 的长为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，连接
，若 ， ，则菱形 的面积为（ ）
A．120 B．240 C．80 D．160
6．如图，菱形 周长为16， ，E是 的中点，P是对角线 上的一个动点，
则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，菱形 的对角线 交于点O，菱形 的周长为32，过点O作
于点E，若 ，则菱形 的面积是（ ）A．16 B．32 C． D．
8．如图，已知菱形 的两条对角线分别为10和24， 、 分别是边 、 的中点，
是对角线 上一点，则 的最小值是（ ）
A．13 B．10 C．24 D．12
9．如图，在菱形 中， ，点M，N分别在 和 上，沿 将 折叠，
点A恰好落在 边上的点E处．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在∆ABC中，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，
E，且点D恰好在 边上，直线 与 交于点F，连接 ．若 ，
则四边形 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
11．如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点 ， 分别是边 的中点，
连接 ，若 ， ，则 的长为( )A．3 B． C．2 D．
12．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中点，下
列结论：①四边形 是菱形；② ；③ ；④ ，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13.如图，在菱形 中，对角线 和 相交于点 ， ， ， 于点H，
则 的面积为 ．
14.如图，在 中（ ）， 为锐角，将∆ABC沿对角线 方向平移，得到
，连接 和 ，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 是菱形，只需添
加的一个条件是 ．15.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
，若菱形 的面积为48，则 的长为 ．
16.如图，在菱形 中，对角线 交于点O，以 为斜边作 ，使得
， 与 交于点Q，连接 ，若 ， ， ，则 的长
为 ．
三、解答题
17.如图， ，且 ，E是 的中点．
(1)求证： ．
(2)连接 ，若要使四边形 是菱形，则需给∆ABC添加什么条件？请说明理由．18.如图，∆ABC中， ， 平分 ，过点 作 交 延长线于点 ，点
是 中点，连接 ， ．
(1)证明：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求边 的长．
19.如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 的中点为 ，连接 并延长至点 ，
使得 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
20.如图，在∆ABC中，D，E分别是 ， 的中点， ，延长 到点F，使得
，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
21.如图，在四边形 中，AB DC， ，对角线 、 交于点o， 平分 ，
过点C作 交 延长线于点E，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
22.如图，在矩形 中，点 是 的中点，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 平分 ， ，求菱形 的面积．23.在矩形 中， ， ， 、 分别是 、 中点， 、 是对角线 上的
两个动点，分别从 、 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，
其中 ．
(1)当 ，则四边形 一定是怎样的四边形，说明理由．
(2)若四边形 为矩形，求 的值．
(3)若 向 点运动， 向点 运动，且与点 ， 以相同的速度同时出发，若四边形
为菱形，则 的值为 ．（直接写出结果）
24.如图，在∆ABC中， 平分 的垂直平分线分别交 于点E，F，G，连
接 ．(1)求证：四边形 是菱形：
(2)若 ，求 的长．
25.如图 ，矩形 中，点 、 分别在 、 上，将矩形 沿直线 折叠，点 落
在 上的点 处，点 落在点 处， 与 交于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)如图 ， ， ，点 与点 重合时，求 的长．26.已知四边形 是菱形， ， ， 的两边分别与射线 相交于
点 ，且 ．
【初步感知】
（1）当 是线段 的中点时（如图①）， 与 的数量关系为___________；
【深入探究】
（2）如图②，将图①中的 绕点A顺时针旋转 ，（1）中的结论还成立吗？
说明理由；
【拓展应用】
（3）如图③，将图①中 绕点A继续顺时针旋转，当 时，直接写出 的长．参考答案
一、单选题
1．C
解：∵四边形 是平行四边形，
∴添加 ，能判定 是菱形，故A不符合题意；
添加 ，能判定 是菱形；故B不符合题意；
添加 ，则 是矩形，不能判定 是菱形；选项C符合题意；
添加 ，能判定 是菱形；选项D不符合题意．
故选：C．
2．D
过点E作 轴于点F，
四边形 为菱形，
， ，
，
是正三角形，
， ，
，
在 中， ，
，
， ，对角线交点 的坐标为 ．
故选：D．
3．C
解：解：∵四边形 是菱形，点 在对角线 上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
4．A
解：∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
5．A
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵点O是 中点，即 是斜边上的中线，
∴ ，
∴菱形 的面积 ，
故选：A．
6．D
解：如图，连接 交 于点O，连接 ， ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵菱形 周长为16，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴． 的最小值为 ．
故选：D．
7．D
解：∵菱形 的周长为32，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8．A
解：作M关于 的对称点Q，连接 ，交 于P，连接 ，此时 的值最小，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
即Q在 上，
∵ ，
∴ ，∵M为 中点，
∴Q为 中点，
∵N为 中点，四边形 是菱形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
∴ ，
故选：A．
9．B
如图所示，过点M作 ，交 的延长线于点F，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ，其中 ．
在 中， ，设 ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ．
∴ ，
根据折叠得 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，∴ ．
故选：B．
10．B
解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
∴ ，四边形 是菱形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴四边形 的面积为 ，
故选：B
11．D
解：∵四边形 是菱形
∴
∵点 ， 分别是边 的中点，
∴
∵
∴
∴∴
故选：D
12．C
解： 四边形 为菱形
， ，
， 分别是 ， 的中点，
，
四边形 为平行四边形
四边形 是菱形，故①正确；
，故④正确；
四边形 是菱形，四边形 是菱形，
，
，
即 ，故②正确；
在 中， 为 的中线
，故③错误；
故选：C．
二、填空题
13.
解：∵在菱形 中，对角线 和 相交于点 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由菱形的性质可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
14. （答案不唯一）
解：∵ ，
∴ ， ，
由平移可得 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
若 ，则 ，
∴四边形 是菱形．
故答案为： （答案不唯一）．
15.
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵菱形 的面积 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
16.
连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中， 是斜边 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
17.（1）
证明： 是 的中点，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形， ；
（2）
解：添加 ，
理由： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
在 中， 是斜边 的中点，
， 四边形 是菱形．18.（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：作 交 延长线于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的长为 ．
19.（1）证明：∵ 的中点为 ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
在菱形 中， ，
∴ ，
又四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形．
（2）解：由（1）可知四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴ ，
在菱形 中， ，
又 ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
即菱形 的面积为96．
20.（1）证明： ∵D、E分别是 、 的中点，， ，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴四边形 是菱形；
（2）解：连接 ，交 于O，
四边形 是菱形，
， ， ， ，
∠BOE=90°，
在 中， ，
，
，
菱形 的面积为 ．
21.（1）证明： ,
,
平分 ,
,
,,
,
,
四边形 是平行四边形，
,
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形， ,
,
, ,
,
，
,
(负值舍去),
,
菱形 的面积 .
22.（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
点 是 的中点， ，
，
又 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，四边形 是菱形；
（2）解： 平分 ，
，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
菱形 的面积 ．
23.（1）解： 四边形 是平行四边形，理由如下：
由题意得： ，
四边形 是矩形，
∴ ， ，
，
， 分别是 ， 中点，
， ，
，，
， ，
，
∴ ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：如图1，连接 ，
由（1）得 ， ， ，
四边形 是矩形，
，
①如图1，当四边形 是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形 是矩形时，
， ，
，；
综上，四边形 为矩形时 或 ；
（3）解：如图3， 和 分别是 和 的中点，连接 ， ， ， 与 交于 ，
四边形 为菱形，
， ， ，
， ，
四边形 为菱形，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
即： ，
解得： ，
，即 ，
当 时，四边形 为菱形．
24.（1）证明: 在∆ABC中， 平分 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：如图， 过点 D作 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
25.（1）证明：根据折叠的性质可知 ， ， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 矩形 中 ， ，，
设菱形 的边长为 ，
则有 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
在 中， ， ，
，
．
26.解：（1）∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵点 是线段 的中点，
∴ ，
如图所示，连接 ， ，
∴∆ABC是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
（2）成立，理由如下，
如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴∆ABC， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，则 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
（3）如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
当 时， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
