文档内容
第2课时 正方形的判定
1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.
2.探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、
菱形的判定方法之间的区别和联系.
3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思
维能力.
重点：正方形判定方法的理解与应用.
难点：正方形判定方法的探究及证明.
知识链接：前面我们学习了正方形的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：正方形的判定
1.在矩形的基础上判定正方形
问题1：准备一张矩形纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分
是一个正方形，可量一量验证验证.
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
下面我们进行证明.已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝BC.求证：四边形ABCD是正
方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°.
∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O，
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ADC＝
90°.
∵AC⊥DB，∴AD＝AB＝BC＝CD.∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：对角线互相垂直的矩形是正方形.
【对应训练】教材P78练习第2题.
2.在菱形的基础上判定正方形
问题3：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形
框架的形状，量量看是不是正方形.
问题4：满足怎样条件的菱形是正方形？下面我们进行证明：
已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°.求证：四边形ABCD是
正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O，AC＝
DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥DB.
∵AC＝DB，∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：对角线相等的菱形是正方形.
问题5：正方形的判定有几条途径？
（教材P77例6）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条
边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.
又AE＝BF＝CG＝DH，∴EB＝FC＝GD＝HA.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2＝∠3.又∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝
90°.
∴∠HEF＝180°－（∠1＋∠3）＝90°.∴四边形EFGH是正方形.
【对应训练】教材P78练习第1题和第3题.
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱形
成为正方形，则应添加的条件是（ A ）
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.OA＝OC
D.∠AOB＝60°
2.甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他
们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；
乙量得构件的两条对角线相等；
丙量得构件的一组邻边相等；
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等.
检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是（ D ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添
加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的
一个条件是 AC ⊥ BD （ 答案不唯一 ） .
第3题图 第4题图
4.有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，
④AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如
▱
图）.现在文文选择了②③，你认为文文选择的 不对 （填“对”
或“不对”）.
5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，CE平分
∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.
∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
1
∴∠EBC＝∠ECB＝ ×90°＝45°.
2
∴∠BEC＝90°，BE＝CE.∴四边形BECF是正方形.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
