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第 18 课 旋转章末复习
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课程标准
(1) 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中
心连线所成的角彼此相等的性质．
(2)通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解
平行四边形、圆是中心对称图形．
(3)能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
(4)探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行
图案设计．
知识精讲
知识点01 旋转
1．旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如
∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2．旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等；
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3．旋转的作图:
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角
度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．【注意】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点02 特殊的旋转—中心对称
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一
定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是一个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
知识点03 平移、轴对称、旋转之间的对比
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．
把一个图形沿某一方向 把一个图形绕着某一定
定 把一个图形沿着某一条直
移动一定距离的图形变 点转动一个角度的图形
义 线折叠的图形变换．
换． 变换．
不
同 图
点 形
要 平移方向 旋转中心、旋转方向、
对称轴
素 平移距离 旋转角度对应点到旋转中心的距
连接各组对应点的线段 任意一对对应点所连线段 离相等；对应点与旋转
平行(或共线)且相等． 被对称轴垂直平分． 中心所连线段的夹角都
等于旋转角．
性 *对应点到旋转中心的距
质 离相等；对应点与旋转
对应线段平行(或共线)且 任意一对对应点所连线段 中心所连线段的夹角等
相等． 被对称轴垂直平分． 于旋转角， 即：对应点
与旋转中心连线所成的
角彼此相等．
能力拓展
考法01 旋转
【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转 后得到 ．若 ， ，则
的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质得： ， ，
，
，
，
故选：C．
【即学即练】如图，将30°的直角板 绕点B按顺时针转动一个角度到 的位置，使得点 、 、
在同一条直线上，那么这个角度等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】D
【详解】解：三角板中∠ABC=60°，旋转角是 ，
则 =180°-60°=120°．
这个旋转角度等于120°．
故选：D．
【典例2】如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 恰好在边 上．已知 ，
，则 的长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ =4-1=3(cm)，
故选：C．
【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接
AA′．则线段AA′的长为( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，
∴ ，
故选：B
考法02 中心对称
【典例3】如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是( )A．点 与点 是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【详解】解： 与△ 关于点 成中心对称，
点 与 是一组对称点， ， ，
A，B，C都不合题意．
与 不是对应角，
不成立．
故选：D．
【即学即练】如图， 与 关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴ ， ，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即 ，
∴C正确，
故选A．
【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵A中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴A不是中心对称图形；
∵B中扑克牌符合中心对称图形的定义，
∴B是中心对称图形；
∵C中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴C不是中心对称图形；
∵D中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴D不是中心对称图形；
故选：B．
考法03 关于原点对称的点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，点P(7，6)关于原点的对称点P′的坐标为( )
A．P′(7，6) B．P′(-7，6) C．P′(7，-6) D．P′(-7，-6)
【答案】D
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点(7，6)关于原点的对称的点的坐标是(-7，-6)，
故选：D．
【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)
【答案】A
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，
故选：A．
【典例6】在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则m的值是( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点A(2，m)与点B(n，3)关于坐标原点对称，∴m＝−3，
故选：D．
【即学即练】已知点 与点 关于原点对称，则a与b的值分别为( )
A．－3；1 B．－1；3 C．1；－3 D．3；－1
【答案】B
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
解得： ．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最
左边图片按顺时针方向旋转 后得到的图片是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是( )
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为( )
A．3 B．-3 C．5 D．-5
【答案】A
【详解】解：∵点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，
∴点A的坐标为： ，
即m为3，
故选A．
4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是( )
A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°
B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格
C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°
D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格
【答案】D
【详解】解：根据图象，△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转与△DEF形状相同，再向左平移8格就可以
与△DEF重合．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的
度数为( )A．65° B．15° C．115° D．75°
【答案】A
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠AFD =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：A．
6．如图，在 中， ， ．将 绕点O逆时针方向旋转90°，得到 ，连接 ．
则线段 的长为( )
A． B．2.5 C． D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质可知， ， =90°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故选：C．
7．如图，将 绕着点 顺时针旋转，得到 ，若 ， ，则旋转角度是
______．【答案】70°##70度
【详解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC=70°，
故答案为：70°．
8．如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 和点 是对应点，若 ，则
_______．
【答案】2
【详解】解： ∵将 绕点A逆时针旋转60°得到 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
9．如图所示，正方形网格中， 为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)把 沿 方向平移后，点 移到点 ，在网格中画出平移后得到的 ；
(2)把 绕点 按逆时针方向旋转 ，在网格中画出旋转后的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】(1)解：如图所示： 即为所求；(2)如图所示： 即为所求．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′
落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°
【详解】解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；
∴B′C＝BC；
∵∠B＝60°，
∴△BB′C是等边三角形；
∴∠BB′C＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°．
题组B 能力提升练
1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．如图，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 若点 刚好落在 边上，且 ，若
，则 旋转的角度为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
，
，
将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
，
旋转的角度为 ，
故选：B．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发(不含点B)沿BC向点C运动，移动到
点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【答案】C【详解】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，AD BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，
∴DF＝BE，
∵DF BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的
的坐标是( )
A．(2，－5) B．(－2，5) C．(5，－2) D．(－5，2)
【答案】B
【详解】解：∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，
∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2，
∵点M在第四象限，
∴M坐标为(2，−5)．
∴点M关于原点对称的 的坐标是(−2，5)．
故选：B．
5．如图，边长为1的正方形 绕点A逆时针旋转 得到正方形 ，连接 ，则 的长是( )
A．1 B． C． D．
【答案】B【详解】如图所示，连接 、
∵四边形 是四边形 逆时针旋转
∴ ，
∴ 是等边三角形
∴
在 中，
∴
故选：B．
6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形
ABCD的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，
∴DE＝DA，DC＝DG，
而CE＝n，AG＝m，
∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，
∴CD ，AD ，
∴长方形ABCD的面积＝CD•AD • ．
故选：B．
7．已知平面直角坐标系内有一点 ，联结 ，将线段 绕着点 旋转 度，点 落在点 的
位置，则 的坐标为______．
【答案】 或 ## 或【详解】解：如图，过点 作 轴于 点， 轴于 点，则
①将线段 绕着点 顺时针旋转 度时，
∵将线段 绕着点 旋转 度，点 落在点 的位置，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
所以
∵ ，
∴ ， ,
∴ , ，
∴ ，
同理可得，将线段 绕着点 逆时针旋转 度时， 的坐标为 ，
综上， 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点 ，AB⊥a于点
B， 于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
【答案】12
【详解】解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点 ，AB⊥a于点B，A'D⊥b
于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 ．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的 ．
(3)直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】(1)解：如图所示， 即为所求．
(2)解：如图所示， 即为所求．(3)解：根据题意得： ．
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，
∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α(0°≤α＜90°)，OB与DC交
于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．
【答案】(1)45°，60°，证明见详解
(2)45°或67.5°，理由见解析
【详解】(1)根据题意有∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，
∴∠DOC=90°，∠A=60°，
∴∠CDO=45°，
当 时，如图2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．
∵∠DOE=α，
∴α＝45°．
当 时，如图3中，∠A+∠AOC＝180°，
∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，
∴∠AOD＝30°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，
∵∠DOE=α，
∴α＝60°
故答案为：45°，60°．
(2)根据(1)可知∠CDO=45°，
当∠D＝∠DOE＝45°时，
∵∠DOE=α，
∴α＝45°，
当∠DOE＝∠DEO时，
则在△DOE中，∠DOE= (180°-∠ODC)=67.5°，
∴∠DOE=α＝45°，
即α＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°．
题组C 培优拔尖练
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，正方形 的边长为 ，将正方形 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 的坐
标为( )
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴ ， ，
∴ ，
∴△ 为等腰直角三角形，点 在y轴上，
∵ ，
∴ =2，
∴ (0，2)，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点
C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为( )
A．3 B．2 C． D．2
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3 ，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝ ，BD＝ ，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝ ，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，
∴DE＝ ，
故选：C．
4．如图， 中， ， 将 绕点 逆时针方向旋转得到 此时恰好点
在 上， 交 于点 ，则 与 的面积之比为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ， ，
，
将 绕点 逆时针方向旋转得到 ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
与 的面积之比为 ．
故选：D．
5．已知点 经变换后到点B，下面的说法正确的是( )
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为【答案】D
【详解】解：A、点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
B、点 绕原点按顺时针方向旋转 后到点 ，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点
的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
C、点 与点 关于原点中心对称，则点 的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
D、点 先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点 ，则点 的坐标为 ，即为 ，
则此项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，点P是在正 ABC内一点， ， ， ，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段
，连接 ， ．下列结论中正确的是( )
① 可以由 绕点A逆时针旋转60°得到；②线段 ；③四边形 的面积为 ；
④ ．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【详解】由题意知， ， ，
为等边三角形， ,②正确，
又 , ，
，
①正确， ，
又 ，
在 中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴ ，故④正确；
故选B．
7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．
【答案】120
【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC，
正三角形ABC，O为其中心，
， ，
，
，
，
同理可证： ，
，
，
∴正三角形ABC绕其中心O至少旋转 ，可与其自身重合．
故答案为：120．
8．如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上， ， ，将
绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是______．【答案】(− ,3)
【详解】解：如图，过点B和 作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，
∴AB=OA=2，∠BAD=60°，
∴AD=1，BD= ，
∴OD=OA+AD=3，
∴B(3, )，
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点 ，
∴ C=BD= ，OC=OD=3，
∴ 坐标为：(− ，3)．
故答案为：(− ，3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，C(-2，0)△ABC和△ 关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△ 绕点O逆时针旋转90°后的△ ；(3)画出与△ 关于点O成中心对称的△ ．
【答案】(1)见解析，(-3，-1)
(2)见解析
(3)见解析
【详解】(1)连接 ，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下：
根据题意，得A(-3，2)， ，
故点E的坐标为(-3， )即(-3，-1)．
(2)根据旋转的性质，画图如下：
(3)根据题意，得 ， ， ，根据中心对称的性质，得到 ， ，
，描点后，画图如下：10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到
△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明 ；
(2)当点G落在△ABC外，且 ，
①如图2，请说明 ；
②如图3，若 ，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度 ，则在这个旋转过程中，
当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角 的度数
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②满足条件的旋转角 为 或 或 或
【详解】(1)证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知， ， ，
， ，；
(2)①证明：如图2中，
，
设 ， ，
，
，
， ，
，
，
；
②解：由题意， ，
，
，
，
，
，
，
如图 中，当 时，旋转角 ．
如图 中，当 时，旋转角 ．如图 中，当 时，旋转角 ．
如图 中，当 时，旋转角 ，
综上所述，满足条件的旋转角 为 或 或 或 ．
