文档内容
21.1 一元二次方程
一、教学目标
（1）通过具体实例认识旋转，并探索它的基本性质.
（2）理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后图形
全等的性质.
（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，体验旋转在现实生活中的应用.
二、教学重难点
（1）教学重点：旋转的概念、性质；
（2）教学难点：旋转作图；
知识点一：旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做
旋转角.
【提醒】
(1) 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转成立体图形，因此,“在平面内”这一条件不可忽略.
(2)图形的旋转是由旋转中心与旋转角决定的，要准确描述旋转，需指明旋转方向，如顺时针旋转或逆时
针旋转，即图形旋转的主要因素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，其旋转中心在旋转的过程中始终保持
不动，图形上每个点的旋转方向是相同的.
(3)如果图形上的点P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；线段两端点的对应点所
确定的线段是原线段的对应线段；两边旋转后的对应边所组成的角是原角的对应角.
例1.钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，
经过45分钟旋转了 度．
例2.时钟的时针在不停地旋转，从下午3时到下午6时（同一天），时针旋转的角度是 ．变式1.如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它扶
起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为 ．
知识点二：旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等.
【提醒】
运用旋转的性质时要找准对应关系，利用旋转的性质可得出相等的线段和相等的角，在线段或角的计
算、证明线段相等或角相等时经常用到.
例1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则
∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
例2.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则
∠A的度数是 ．变式1.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到
的，则旋转的角度为 ．
知识点三：旋转作图
旋转作图的步骤：
(1)明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角.
(2)分析所作图形：找到已知图形的各关键点.
(3)作各关键点的对应点：将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，以已知点与旋转中心连线为
边，向旋转方向作一个角等于旋转角，使所作角的另一边的长等于已知边.
(4)作出新图形：按原图形顺次连接各对应点，即得到所求作的图形.
(5)写出结论：说明作出的图形.
【提醒】
根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通
过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接对应点得出旋转后的图形.
例1.等边三角形至少旋转 度才能与自身重合．例2.如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 度构成的．
变式1.如图平行四边形ABCD是旋转对称图形，点 是旋转中心，旋转了 度后能与自身重合，则AD=
，DC= ，AO= ，DO= ．
拓展点一：图形旋转的识别
例1.如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作 圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是
度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
例2.如图，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求证：∠B=∠C；（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
拓展点二：图案的观察分析问题
例1.在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
例2.如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点
A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
例3.如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣
5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
拓展点三：旋转的性质的应用
例1．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．例2.如图所示，将△AOB绕着点O旋转180度得到△DOC，过点O的一条直线分别交BA、CD的延长线于点
E、F，求证：AE=DF．
拓展点四：坐标系中图形的旋转问题
例1.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐
标为（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
例2.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（
）A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
变式1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△ABC ，平移△ABC，应点A 的坐标为
1 1 1 2
（0，﹣4），画出平移后对应的△ABC；
2 2 2
（2）若将△ABC 绕某一点旋转可以得到△ABC，请直接写出旋转中心的坐标．
1 1 1 2 2 2
拓展点五：利用旋转性质解题
例1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=α，点E在对角线BD上．将线段CE绕点C顺时针旋转α，得到CF，
连接DF．
（1）求证：BE=DF；（2）连接AC，若EB=EC，求证：AC⊥CF．
例2.如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB= ，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
