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23.2&23.3中心对称及图案设计
中心对称和中心对称图形
中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对
称点．
中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
题型1：中心对称和中心对称图形
1.1．下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【变式1-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其
中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．（填写图形的相应编号）
题型2：中心对称的性质-求角度
2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是
【变式2-1】如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若 AB=6，
∠BAC=40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 °。
【变式2-2】如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图
形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（ ）
A.30° B.36° C.72° D.90°
题型3：中心对称的性质-求边长
3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是
．【变式 3-1】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到
△B'O'C，若AC=2，AB′=5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A.3 B.4 C.√15 D.√17
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，
BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A.3+√3 B.2+2√3 C.2+√3 D.1+2√3
题型4：确定对称中心及中心对称作图
4.如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．
【变式4-1】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规
作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【变式4-2】如图， △ABC 和 △≝¿ 关于点 O 成中心对称.（1）作出它们的对称中心 O ，并简要说明作法；
（2）若 AB=6 ， AC=5 ， BC=4 ，求 △≝¿ 的周长；
（3）连接 AF ， CD ，试判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由．
关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
题型5：关于原点对称的点的坐标特征
5.平面直角坐标系内与点P(−2，3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(3，−2) B．(2，3) C．(2，−3) D．(−2，−3)
【变式5-1】已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【变式5-2】已知P (a，−2)和P (3，b)关于原点对称，则(a+b) 2021的值为（ ）
1 2
A．−1 B．1 C．−52021 D．52021
题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用
6.在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限
内，则x的取值范围是（ ）
1 1 1
A．x< B．−3 D．x＞－3
2 2 2
【变式6-1】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的
坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）⑴画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△ABC；
1 1 1
⑵画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△ABO；
2 2
⑶在x轴上存在一点P，满足点P到A 与点A 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
1 2
【变式6-2】在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶
点均在格点上，点C的坐标为（0，1），请按要求画图与作答：
⑴请画出△ABC关于原点成中心对称的△ABC；
1 1 1
⑵请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△ABC；
2 2 2
⑶求△ABC 的面积．
2 2 2
中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：
注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
题型7：综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬
纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平
稳旋转的风车．正确的粘合方法是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在
图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）（1）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（2）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图；
（3）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【变式7-2】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个
图案．
题型8：利用轴对称和中心对称设计方案
8.认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2：
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【变式8-1】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，
请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；
（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．【变式8-2】在下列正方形网格中，点A是 ⊙O 上一点（点A和圆心O均为格点）.
（1）在图1中不过点A画 ⊙O 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与 ⊙O 组成的
图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中不过点A画 ⊙O 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与 ⊙O 组成
的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画 ⊙O 的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与 ⊙O 组成
的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．3．下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，将点A（4，2）向左平移3个单位到达点A 的位置，再向上平移4个单位到达点A 的位置，
1 2 3
△AAA 绕点A 逆时针方向旋转90°，则旋转后A 的坐标为（ ）
1 2 3 2 3
A．(−2,2) B．(−3,2) C．(−2,1) D．(−3,1)
5．用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分.图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给
出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
6．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是 ．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于
点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．9．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA ，那
1
么点A 的位置可以用(2，30°)表示．如果将OA 再按逆时针方向继续旋转55°到OA ，那么点A 的位
1 1 2 2
置可以用 ( ， ) 表示．
10．“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积
b
公式，公式为S = a + -1.小明只记得公式中的表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边
2
上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示
多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图 2 中多边形的面积是 .
11．如图，在平面直角坐标系中， RtΔABC 三个顶点都在格点上，点 A,B,C 的坐标分别为A
A(−4,1),B(−1,1),C(−1,3) 请解答下列问题：①ΔABC 与 ΔA B C 关于原点 O 成中心对称，画出 ΔA B C 并直接写出点 C 的对应点
1 1 1 1 1 1
C 的坐标；
1
②画出 ΔABC 绕原点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到的 ΔA B C ，并求出点 A 旋转至 A 经过
2 2 2 2
的路径长.
四、解答题
12．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△ABC 和
1 1 1
△ABC．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△ABC 重合到△ABC 上．
2 2 2 1 1 1 2 2 2
13．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△ABC；
1 1 1
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△ABC，请画出△ABC．
2 2 2 2 2 2
（3）若点O的坐标为(0， 0)，点B的坐标为(2， 3)；写出△ABC 与△ABC 的对称中心的坐标
1 1 1 2 2 2
14．如图，请你以y轴为对称轴画出所给图的另一半，若点A坐标为（﹣3，3），写出点A的对应点
的坐标，并说明完成后的图形可能代表的含义．
15．画图计算：（1）在8×8的方格纸中画出△ABC关于点O的对称图形△A′B′C′，并在所画图中标明字母．
（2）设小方格的边长为1，求△A′B′C′中B′C′边上的高h的值．
