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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
教学目标：理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．
教学重难点：弦、弧、圆心角，圆的对称性，圆的半径相等
知识点一：圆的定义及表示方法
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
例题．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（ ）
A．4π B．9π C．16π D．25π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为
半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×52﹣π×32=16π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
变式．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【分析】由于直径是圆的最长弦，经过圆心的弦是直径，两点确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆
的最长弦的条数为一条．【解答】解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一
点可以作出圆的最长弦的条数为一条．
故选A．
【点评】本题考查了直径和弦的关系，直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆内最长的弦．
知识点二：与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
例题．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；
根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．
变式1．下列说法正确的是（ ）A．半圆是弧，弧也是半圆
B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径
C．弦是直径
D．直径是同一圆中最长的弦
【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，故错误；
B、过圆上任意一点能作无数条弦，故错误；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，正确，
故选D．
【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难道不大．
变式2．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦
D．直径是弦且同一个圆中最长的弦
【分析】根据等弧的定义，弦的定义即可解答．
【解答】解：A、等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，
故错误；
B、不在同圆或等圆中，故错误；
C、等弦即只要长度相等即可，故错误；D、正确．
故选D．
【点评】理解等弧、等弦的概念，注意直径和弦的关系．
变式3．下列说法错误的是（ ）
A．面积相等的两个圆是等圆 B．半径相等的两个半圆是等弧
C．直径是圆中最长的弦 D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】根据等圆的定义对A进行判断；根据半圆和等弧的定义对B进行判断；根据直径的定义对C进行
判断；根据等弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、面积相等的两个圆是等圆，正确；
B、半径相等的两个半圆是等弧，正确；
C、直径是圆中最长的弦，正确；
D、等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故本选项错误；
故选D．
【点评】此题主要考查了圆的认识，掌握圆的有关性质是解题的关键．
变式4．下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选D．
【点评】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考
常考题型．
变式5．下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．
【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查圆的认识，学习中要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．
拓展点一：概念辨析问题
例题．下列说法：（1）直径是弦； （2）弦是直径； （3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相
等的两个圆是等圆； （5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念．（2）弦是连接圆上两点间的线段，只有过圆心的
弦才是直径．（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧．（4）
（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定能重合．
【解答】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段
这一概念，所以（1）正确；
（2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）错误；
（3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的
弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以（3）正确；
（4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）正确；
（5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以（5）错误．
故选B．
【点评】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握相关的定义和性质．
变式1．下列判断中，正确的是（ ）
A．等长的两条弧是等弧
B．半径相等的两个半圆是等弧
C．弦是半圆
D．在半径不等的两圆上，可能存在等弧
【分析】根据等弧的定义对A、B、D进行判断；根据弦和半圆的定义对C进行判断．
【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、半径相等的两个半圆是等弧，所以B选项正确；C、弦是圆上两点之间的连线段，半圆是直径所对的弧，所以C选项错误；
D、在半径不等的两圆上，不可能存在等弧，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．
变式2．有以下结论：
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等
的两条弧是等弧．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弦和直径的定义对①②进行判断；根据弧的定义对③进行判断；根据等弧的定义对④⑤进行
判断．
【解答】解：直径是最长的弦，所以①为真命题；弦不一定是直径，所以②为假命题；半圆是弧，但弧不
一定是半圆，所以③为真命题；半径相等的两个半圆是等弧，所以④为真命题；长度相等的两条弧不一定
是等弧，所以⑤为假命题．
故选B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．
拓展点二：利用同圆或等圆中的半径相等解题
例题．如图，已知AB是⊙O的直径，∠AOE=60°，点C是AB延长线上一点，CE交⊙O于点D，且
CD=OB，则∠C等于（ ）A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】连结 OD，如图，设∠C=x，先证明 OD=CD，则∠DOC=∠C=x，则根据三角形外角性质得
∠ODE=2x，再利用OD=OE得到∠E=∠ODE=2x，然后根据三角形外角性质得∠AOE=∠E+∠C=3x，即
3x=60°，于是解方程即可得到∠C的度数．
【解答】解：连结OD，如图，设∠C=x，
∵OB=OD，CD=OB，
∴OD=CD，
∴∠DOC=∠C=x，
∴∠ODE=∠C+∠DOC=2x，
∵OD=OE，
∴∠E=∠ODE=2x，
∴∠AOE=∠E+∠C=3x，
即3x=60°，解得x=20°，
∴∠C=20°．
故选C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．也考查了等腰三角形的性质与三角形外角性质．
变式1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接
CD，则∠ACD=（ ）A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵CD=CB，
∴∠BCD=180°﹣2×50°=80°，
∴∠ACD=90°﹣80°=10°；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
变式2．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．
求证：AF=BE．
【分析】根据AB、CD为⊙O中两条直径，得出OA=OB，OC=OD，再根据CE=DF，得出OE=OF，从而
证出△AOF和△BOE全等，即可得出答案．【解答】解：∵AB、CD为⊙O中两条直径，
∴OA=OB，OC=OD，
∵CE=DF，
∴OE=OF，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF=BE．
【点评】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出△AOF和△BOE全等，
要能综合应用全等三角形的判定与性质．
