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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
学习目标：1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
重点：理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
难点：1.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
2.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
自 主 学
习
一、知识链接
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
2.如图，∠ABE的顶点和边有哪些特点?
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：圆心角的定义
概念学习 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
判一判 判别下列各图中的∠BAC是不是圆心角，并说明理由.
第 1 页 共 6 页探究点2：圆周角定理及其推论
探究 如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
要点归纳：圆周角定理——一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与
∠BDC相等吗？请说明理由.
问题2 如图，若 ，∠A与∠B相等吗？
想一想 反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？
要点归纳：圆周角定理的推论——同弧或等弧所对的圆周角相等.
想一想 如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ABC就是直径AB
所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
要点归纳：圆周角和直径的关系——半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)..
典例精析
例1 如图，分别求出图中∠x的大小.
例2 如图，AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数.
第 2 页 共 6 页例3 (教材P87例4)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，
AD，BD的长．
方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
探究点3：圆内接四边形
定义 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形
的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想与证明 ∠A与∠C，∠B与∠D之间有什么关系？如何证明你的猜想呢？
要点归纳：圆的内接四边形的对角互补.
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D=
.
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
例4 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据．
三、课堂小结
第 3 页 共 6 页1.顶点在圆上；
圆周角定义
2.两边都与圆相交的角. (二者必须同时具备)
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°(直
圆周角与直线的关系
角).
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
圆周角
圆周角定理 都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
圆周角定理的推论
2.圆内接四边形的对角互补.
当堂检
测
1．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120° B．100° C．80° D．60°
第1题图 第2题图 第3题图
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB= ．
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
4.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．
5.船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安
全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证： .
第 4 页 共 6 页参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：顶点在圆心的角叫做圆心角；图中的圆心角有∠AOE.
2.解：∠ABE的顶点在⊙O上，角的两边分别交⊙O于A、E两点.
课堂探究
要点探究
探究点1:圆心角的定义
判一判 （1）（5）（6）是圆周角，（2）（4）中，顶点不在圆上， 不是圆周角；（3）中，AC与圆不相交，不是圆
周角.
探究点2：圆周角定理及其推论
探究：∠BAC= ∠BOC.
问题1：相等，理由如下：∵∠BAC= ∠BOC，∠BDC= ∠BOC，∴∠BAC=∠BDC.
问题2：相等，∵
，∴∠COD=∠EOF.
∵∠A= ∠COD，∠B= ∠EOF，∴∠A=∠B.
想一想：成立
想一想：解：∵AB是直径，点O是圆心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
典例精析
例1 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
(2)连接BF，∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例2 解：连接BC，则∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
例3：解：连接OD．∵AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，
第 5 页 共 6 页BC= ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∴ ∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.又在Rt△ABC中，AD2+BD2=AB2，
探究点3：圆内接四边形
猜想与证明 ∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º
证明：连接OB，OD．∵ ∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，又 和 所对的圆心角的
和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°．
练一练： 1.70° 100° 2.90°
例4： 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂
直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
当堂检测
1.A 2.166° 3.30°
4.证明：∵∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC
5.解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外(即⊙O外) ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
拓展提升
（1）解:BD=CD．理由是：连接AD，∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.
（2）证明：∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴
(同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等).
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