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24.1 圆的有关性质
【基础训练】
一、单选题
1．P为⊙O内一点， ，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，点 ， ， 在⊙O上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 是 的直径， 、 是 上的两点，若 ，则 （ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．如图，在 中， 为直径， 为弦，已知 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
6．如图， 是四边形 的外接圆，连接 和 ，且 ，则 的度数是（
）
A． B． C． D．
7．如图，点 、 、 在⊙O上， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， ＝ ．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
A．50° B．40° C．25° D．20°
9．如图，四边形 内接于⊙O，若 ，则 的度数为（ ）
A．18 B．72 C．100 D．108
10．如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BDC＝30°，则∠ABC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．70° D．80°
13．如图，圆 的弦中最长的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
15．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（ ）A．66° B．48° C．33° D．24°
16．已知：如图， 是 的两条半径， ，点C在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所在直线是圆的对称轴
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（
）
A．35° B．55° C．70° D．110°
19．如图，在 中，AB、CD是 的直径，若 ，则∠C=（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°20．如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知 为 的直径，点C在 上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在 中， 为半径， 为弦，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是（ ）A．70° B．60° C．50° D．40°
24．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度
，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接 ， 相交于点E，若 ，
，则 的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
26．如图，点 ， 在 上， 是 的直径，若 ，则 等于（ ）A．33° B．43° C．28.5° D．57°
27．如图， 中所对的圆周 ，点P在劣弧 上， ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
28．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
29．如图， 的半径 为 ， 于点 ， ，则 的长是（ ）A． B． C． D．
30．如图，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在 的延长线上．若
， ，以 为圆心、 长为半径的弧经过点 ，交 轴正半轴于点 ，连接 ， 、
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为______．
32．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；33．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ．
已知 ，则 与 的大小关系是 ________ ．
34．如图， 是 的内接三角形， ， ，则 __________________．
35．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点过D向
AC作垂线DE垂足为点E，若 ，则直径 ________．三、解答题
36．如图， 的弦 相交于点P，且 ．求证 ．
37．如图， 在 方格中，点 在格点上，按要求画图；
（1）在图1中画出 ，使得 ，点 为格点．
（2）在图2中画出 ，使得 ，点 为格点．
38．如图， 是 的直径， 、 两点在 上，若 ．
（1）求 的度数；（2）若 ， ，求 的半径．
39．已知如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E， ，半径为2，则弦 的长为多少？
40．如图①，在 中，弦 垂直直径 于点 ．已知 ， ．
（1）求直径 的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径 ’改为‘弦 ’，其余条件均不变（如图②）， 的直
径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
41．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．
42．如图，在梯形ABCD中，CD AB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧
AB．
（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
43．如图，在Rt ABO中， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，交 于点 ．
（1）若 ，则弧 的度数为 ．
（2）若 ， ，求 的长．
44．如图， 是⊙O的直径，弦 与 交于点 ，过点 作 交⊙O于点 ，若 为
的中点．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ，求 的度数．
45．如图，四边形 是 的内接四边形， 平分 ，连结 ， ．（1）求证： ；
（2）若 等于 ，求 的度数．
46．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足： ，AD交OC于点E．已知OE＝
3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
47．如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且 ， 与 交于点E．若
，求 的度数．
48．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A
和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．49．已知如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且 ，若 ，求
的度数．
50．如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下
方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过 的圆心，若AB＝200
cm，∠CAB＝∠DBA＝60°， ，AB平行于地面EF， 最顶端与AB的距离为2 cm．
（1）求 的半径；
（2）若台面AB与地面EF之间的距离为72 cm，求E，F两点之间的距离．（精确到1 cm，参考数据：
≈1.7， ≈137）51．如图，在 中， 为 的弦， 是直线 上两点，且 ，求证： 为等腰
三角形．
52．如图，点A，B，C在⊙O上，AC OB，若∠BOC＝56°，求∠OBA的度数．
53．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中
点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
54．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做
另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的
“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
（概念理解）
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，
CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
（问题解决）
（3）如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，
，则CD的长度 ．
55．如图， 是 的直径，弦 于 ，连接 ，过点 作 于 ，若 ，
，（1）求 的半径；
（2）求 到弦 的距离．
56．如图，在圆 中，若 ，且 ，求 的长度．
57．已知， 中， ， 是 上的点， ．
（1）如图①，求证 ；
（2）如图②，连接 ， ， ， ，若 ，求 ， 的大小．
58．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，连接OD，AC，若 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．59．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①， ，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
60．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
