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第 70 讲 圆锥曲线中的定值问题
题型一 圆锥曲线中面积为定值问题
例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知 为坐标原点，点 在椭圆 上，椭
圆 的左右焦点分别为 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，原点 为 的重心，证明： 的面积为定值.
变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆 ，点 ， 是圆 上一动点，若线段
的垂直平分线与线段 相交于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)已知 为点 的轨迹上三个点（ 不在坐标轴上），且 ，求 的值．变式2、（2021·湖北武汉市高三模拟）已知双曲线 的两条渐近线所成的锐角
为60°，且点P（2，3）为E上一点．
（1）求E的标准方程；
（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点
A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值．
题型二 圆锥曲线中线段为定值问题
例2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距
离为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线 的右顶点，直线 与双曲线 交于不同于 的 ， 两点，若以 为直径的圆经过点
且 于 ，证明：存在定点 ，使得 为定值.变式1、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
变式2、（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线 与双曲线 相交于
两点 是 的右焦点，直线 分别交 于 （不同于 点），直线 分别交 轴于
两点.
(1)设 ，求证： 是定值；
(2)求 的取值范围.变式3、（2022·江苏如东·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左右
焦点分别为F (－c，0)，F (c，0)，离心率为e，且点(e，3)，( ，b)都在双曲线C上.
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(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF //BF .证明： 为定值.
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题型三 圆锥曲线中斜率为定值问题
例3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭圆 ，椭
圆外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.变式1、（2022·新疆·三模）已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且与长轴垂直的直线
被椭圆截得的弦长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点 的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且
．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值．
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线 ： 的两条渐近线互相垂直，且
过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 为双曲线的左顶点，直线 过坐标原点且斜率不为 ， 与双曲线 交于 ， 两点，直线 过 轴上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补， 与直线 ， 分别交于 （ 不在坐标轴
上）两点，若直线 ， 的斜率之积为定值，求点 的坐标．
变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆
上，过点 的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为 ， ，当
时， ．
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值．
