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第 25 章 概率初步
25.3 用频率估计概率
学习要求
1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作
过程．
2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法．
知识点一：利用频率估计概率
例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦
种的发芽概率是（ ）
试验种子数n（粒） 50 200 500 1000 3000
发芽频数m 45 188 476 951 2850
0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
发芽频率
A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1
变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，
则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将
盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的
数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ）摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806
0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
摸到白球的频率
A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6
B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6
C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200
D．这个盒子中的白球定有28个
变式3．某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率．在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，
并统计成活情况，计算成活的频率．如下表：
移植总数（n） 成活数（m）
成活的频率（
）
10 8 0.80
50 47 0.94
270 235 0.870
400 369 0.923
750 662 0.883
1500 1335 0.89
3500 3203 0.915
7000 6335 0.905
9000 8073 0.897
14000 12628 0.902
所以可以估计这种幼树移植成活的概率为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9变式4．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球实验，她将盒子里
面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一
组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803
0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
摸到白球的频率
（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）= ；
（3）试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少只？
变式5．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
设计次 20 40 60 80 100 120 140 160
数
射中 15 33 63 79 97 111 130
九环以
上的次
数
射中
九环以 0.7 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8
上的频 5 3 0 9 9 9 1
率
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理
由．
变式6．小明和小亮做游戏，他们利用地上的图案（如图），蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子，
掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到圈外不算．下表是游戏中统计的二组数据．
掷中圈内的区域次数m 100 150 200 500 800 1000
落在”阴影”区域的次数n 73 114 151 374 601 750
0.73 0.76 0.755 0.748 0.751 0.75
落在”阴影”区域的频率
（1）估计石子落在“阴影”区域的概率约为多少；
（2）小明、小亮获胜的机会分别约为多大？
（3）若圆的半径为1，试估计地上该图案（不包括圆）的面积．
知识点二：概率与频率的关系
例2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
变式1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
变式2．有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同
的自然数，如图所示．转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇
形的边线上，当作指向下方的扇形）．
（1）小明同学转动转盘A，小华同学转动转盘B，他们都转了30次，结果如下：
指针停靠的扇形内的数字 1 2 3 4 5 6
出现的次数 x 18 6 5 10 15
（i）求出表中x的值．
（ii）计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率；
（2）小明转动A盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为十位数字，小华转动B盘一次，指针停靠的扇形
内的数字作为个位数字，用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”（记为事件A）的概
率．变式3．某商场设立一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机
会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“三等奖”的次数m 68 105 141 345 564 701
0.68 0.70 0.71 0.69
落在“三等奖”的频率
（1）计算并完成表格；
（2）画出获得“三等奖”频率的折线统计图；
（3）假如你去转动该转盘一次，根据这次实验的结果，我们可以估计出现“三等奖”的概率大约是
．变式4．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 20 50 100 200 500 1000
击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905
击中靶心频率m/n
（1）计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数）
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数）
拓展点一：试验元素个数的确定问题
例3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分
搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左
右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
变式1．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球
摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在
，因此可以估算出m的值大约是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
变式2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等
完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．3个 B．4个 C．10个D．16个
变式3．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，
则这袋黄豆原来有（ ）
A．10粒B．160粒 C．450粒 D．500粒
变式4．一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试
验，将求搅均匀后从张任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复，获得数据如下
摸球次数n 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数m 116 192 232 590 968 1202
摸到白球的频率
（1）计算并填写表中摸到白球的频率；
（2）当摸球次数很大时，摸到的白球的频率估计值是多少？
（3）若已知袋中有白球24个，试估计袋中红球的个数．
变式5．根据表格完成问题．
每批实验粒数 1 1 40 100 200 1000 2000 2500 3000n
发芽粒数m 1 32 168 961 2883
1 0 0.9 0.96 0.96
发芽的频率
（1）将表格填写完整．
（2）估计播种1粒该麦种，其发芽的概率约是多少？
（3）若实际需要15000棵麦苗，则需要多少粒麦种？
变式6．一个不透明的袋中放进若干个白球，现在想要知道这些白球的数目，小明用了如下的方法：将20
个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中，将红球与袋中的白球充分搅匀后，再从袋中随机摸
球，每次共摸10个球放回，共摸20次，求出红球与10的比值，然后计算出平均值，得到摸到红球的概率
是8%，求原来袋中约有多少个白球．
拓展点二：模拟实验
例4．盒子里装有6张扑克牌，其中有3张红桃，2张梅花，1张方块，从中任意摸一张，猜想摸到方块的
概率是多少？请你与同学用实验的方法加以验证．
变式1．一枚硬币抛起后落地时，“正面朝上”的机会有多大？
（1）写出你的猜测；
（2）一位同学在做这个实验时说：“我只做了10次实验，就得到了正面朝上的概率约为30%．”你认为他说的对吗？为什么？
（3）还有一位同学在做这个实验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个实验，你认为他的做法科学吗？
为什么？
变式2．摸球试验：
一个袋子里有8个黑球和若干个白球，从袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上
述的过程．
（1）若共摸球200次，其中有57次摸到黑球，你能估计摸出黑球的概率是多少吗？你能估计袋中大约有
多少个白球吗？
（2）若从袋中一次摸球20个，其中黑球数占 ，你能估计袋中大约有多少个白球吗？
（3）打开口袋，数数袋中白球的个数，你们的估计值和实际情况一致吗？为什么？
（4）将各组的数据汇总，并根据这个数据估计袋中的白球数，看看估计结果又如何？
（5）为了使估计结果较为准确，应该注意些什么？
变式3．某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及
不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
奖次 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖
圆心角 10° 20° 30° 90°
如果不用转盘，请设计一种等效试验方案．（要求写清楚替代工具和试验规则）变式4．某彩民在上期的体彩中，一次买了100注，结果有一注中了二等奖，三注中了四等奖，该彩民高
兴地说：“这期彩票的中奖率真高，竟高达4%”．请对这一事件做简单的评述．
变式5．小明与同学想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人
中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？
变式6．现有3个45°的角，2个90°的角，从中任取3个角一定能构成等腰直角三角形吗？实验一下，看看
构成等腰直角三角形的概率有多大．
变式7．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计
出一种试验方案代替它．
变式8．柜子里有5双鞋，从中取出一只，请预测取出的是右脚穿的鞋的概率，并举出一个模拟实验方案．变式9．现有4个一元一次不等式：①x＜1；②x＜2；③x＞4；④x＜﹣1．
（1）从中任取两个不等式，构成的不等式组的解集可能是x＞4吗？
（2）从中任取两个不等式，构成的不等式的解集是x＜﹣1的机会有多大？请给予分析并计算概率．
（3）如果用编有号码、大小相同的小球做代替物对题（2）中所得的答案进行验证，请你设计一个模拟的
实验方案．
易错点：把随机事件的实验频率等同为随机事件的概率
例5．均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字 1 2 3 4
出现的次数 16 20 14 10
（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是多少？
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是 ”的说法正确吗？为什么？
变式1．小明同学的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个七位的数码，如能与开奖结果完
全一致，则获特等奖；如有相连的6位数码正确，则获一等奖；如有相连的5位数码正确，则获二等
奖……以此类推，小明爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种体育
彩票好，因为中奖率高，中一等奖的概率是10%！”小明的爸爸的说法正确吗？
