26.1反比例函数（第2课时）[教学设计]_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_课件+教案

26.1 反比例函数（第2课时） 教学目标 1．经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程． 2．会画反比例函数的图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质． 3．能够初步应用反比例函数的图象和性质解题． 教学重点 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程． 教学难点 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题． 教学过程 知识回顾 1．什么是反比例函数？ 一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y 是函数． 2．反比例函数 中，x，y，k均不为0． 3．反比例函数的三种表示方式： ， ，xy＝k．(k为常数，k≠0) 4．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设：设反比例函数的解析式为 (k≠0)． （2）列：把已知x与y的一对对应值同时代入 (k≠0)中，得到关于k的方程． （3）解：解方程，求出k的值．（4）写：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式． 5．反比例关系与反比例函数的区别和联系： （1）如果ab＝k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a，b既 可以代表单项式，也可以代表多项式． （2）反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，但反比例关系不一定构成反比例 函数． 新知探究 一、探究学习 【问题】如何画函数的图象？ 【师生活动】教师提问，学生代表作答． 【答案】函数图象的画法：描点法． 【设计意图】回顾以往画函数图象的步骤，为下文讲解画反比例函数的图象作铺垫． 【问题】画出反比例函数 与 的图象． 【师生活动】学生代表板书作答，教师和其他学生纠正． 【答案】解：列表表示几组x与y的对应值（填空）： x … －12 －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 12 … … －1 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 … … －1 －2 －3 －4 －6 －12 12 6 4 3 2 1 … 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点， 就得到函数 和 的图象．【设计意图】让学生进一步掌握用描点法画反比例函数图象的步骤． 【问题】观察这两个函数图象，回答问题： （1）每个函数图象分别位于哪些象限？ （2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？ 【师生活动】教师提问并引导学生得到正确结论． 【答案】（1）第一、第三象限． （2）由函数解析式可以知道x与y成反比，所以在每一个象限内，随着x的增大，y 减小． （3）能得出同样的结论． 【新知】一般地，当k＞0时，对于反比例函数 (k≠0)，由函数图象，并结合解 析式，我们可以发现： （1）函数图象分别位于第一、第三象限； （2）在每一个象限内，y随x的增大而减小． 【设计意图】用从特殊到一般的方法，通过问题串的形式让学生掌握反比例函数当k＞0时的相关性质． 【问题】当k＝－2，－4，－6时，画出反比例函数 的图象．回顾上面我们利用 函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法 研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ 【师生活动】教师引导学生画出对应的反比例函数图象，然后一起讨论得出反比例函 数 (k＜0)的性质． 【答案】画出对应的反比例函数图象如下： 【新知】一般地，当k＜0时，对于反比例函数 ，由函数图象，并结合解析式， 我们可以发现： （1）函数图象分别位于第二、第四象限； （2）在每一个象限内，y随x的增大而增大． 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线． 【归纳】一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： （1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； （2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的 增大而增大． k的正负决定反比例函数图象的位置和函数的增减性． 【问题】观察下列动图，进一步体会k的值对反比例函数图象的影响． 【师生活动】教师引导学生观察动图，得到合理结论即可． 【设计意图】让学生进一步清楚k的值对不同反比例函数图象的影响． 【思考】（1）反比例函数图象是轴对称图形吗？如果是，请找出对称轴． （2）反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心． 【师生活动】教师引导学生观察反比例函数 (k≠0)的图象，然后总结． 【新知】反比例函数 (k≠0)的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝±x． 反比例函数 (k≠0)的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 对于反比例函数 (k≠0)，若点(a，b)在其图象上，则点(－a，－b)也在它的图 象上． 【设计意图】通过观察反比例函数的图象得到反比例函数图象的对称性．【问题】在反比例函数 的图象上分别取点P，Q，并向x轴、y轴作垂线，围成 面积分别为S，S 的矩形，填写表格： 1 2 P(2，2)，Q(4，1) S 的值 1 S 的值 2 S 与S 的关系 1 2 猜想S，S 1 2 与k的关系 【师生活动】教师提出问题，学生小组讨论后找代表回答问题，教师补充纠正． 【答案】先由题意画图，再根据图象填表如下． P(2，2)，Q(4，1) S 的值 4 1 S 的值 4 2 S 与S 的关系 S＝S 1 2 1 2 猜想S，S 1 2 S＝S＝k 1 2 与k的关系【设计意图】通过探究反比例函数 的图象，让学生对k的几何意义有一定的了解． 【问题】若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： P(－1，4)，Q(－2，2) S 的值 1 S 的值 2 S 与S 的关系 1 2 猜想S，S 1 2 与k的关系 【师生活动】小组讨论后找学生作答． 【答案】先由题意画图，再根据图象填表如下． P(－1，4)，Q(－2，2) S 的值 4 1S 的值 4 2 S 与S 的关系 S＝S 1 2 1 2 猜想S，S 1 2 S＝S＝|k| 1 2 与k的关系 【新知】过双曲线 (k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂 足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|xy|． 因为 ，所以xy＝k，所以S＝|k|． 故过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．同理，△OPM的 面积为 ． 【设计意图】通过探究反比例函数 的图象，让学生对前面k的几何意义的分析 进行验证，然后得出一致的结论． 二、典例精讲【例1】反比例函数 的图象上有两点A(x ，y)，B(x ，y)，且x ＞x ＞0，则y 1 1 2 2 1 2 1 与y 的大小关系为（ ）． 2 A．y＞y B．y＝y C．y＜y D．无法确定 1 2 1 2 1 2 【分析】因为11＞0，且x＞x＞0，根据x＞x 和反比例函数 在第一象限的增 1 2 1 2 减性，可知y，y 的大小关系． 1 2 【答案】C 【设计意图】检验学生对反比例函数性质的理解和掌握情况． 【例2】如图所示，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，则 △OAB的面积＝_______． 【分析】延长BA交y轴于点C，可根据下方思维导图得到结论． 【答案】 【设计意图】检验学生对反比例函数 (k≠0)中k的几何意义的理解和掌握情况． 课堂小结板书设计 一、反比例函数的图象 二、反比例函数的性质 课后任务 完成教材第6页练习第1～2题． 教学反思 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________