文档内容
27.2.1相似三角形的判定(4)
教学目标：
使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．
类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．
通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
教学重点：
两个判定定理的应用
教学难点：
了解两个判定定理的证明方法与思路
教学过程：
一、新知引入
我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
三角形相似的判定方法1 :（预备）定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
三角形相似的判定方法2:
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法3:
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能
否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？
二、新知讲解：
思考：
观察你与老师的直角三角尺（300与600 ）,会相似吗？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
一定需三个角吗？
探究1：
（1）画△ ，使有两个角分别为75°，45°
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌这两个三角形相似吗?
（2）猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_ _ 相
似___．
你能证明这个结论吗？
（3）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，证明△ABC和△A′B′C′相似。
教师引导学生在稿纸上按要求画图．
学生动手画图、测量、独立研究．然后类比判定方法2、3的方法，完成证明过程。
●归纳：相似三角形的判定方法4：两个角分别对应相等的两个三角形相似
用几何语言表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
思 考：
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？（不一定）
例题讲解巩固练习：
1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①√ ②× ③√ ④×
2、对的打“√”，错的打“×”
（1.）所有的等边三角形都相似。（ √ ）
（2.）所有的直角三角形都相似。（ × ）
（3.）所有的等腰三角形都相似。（ × ）
（4.）所有的等腰直三角形都相似。（ √ ）
3、当∠ＡＣＤ=_______条件时，△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ.∠ＡＢＣ
4、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC
∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△EFC.
思考：两个直角三角形，我们可用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两
个直角三角形相似吗？
探究2：
教师多媒体课件出示：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝.判断Rt△ABC与Rt△A′B′C′是
否相似，为什么？
已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？
学生思考、讨论后回答．
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
∵BC＝＝＝k＝kB′C′，
∴＝＝＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′.
所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：
●归纳：判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
三、拓展提高
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，⊿ACD 和 ⊿CBD都和⊿ABC
相似吗？证明你的结论，写出图中已有哪些等量关系？
证明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB.
∴＝.
∴CD2＝AD·BD.
(2)∵∠B＝∠B，
∠ACB＝∠CDB，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝.
∴BC2＝AB·BD.
同理可证△ABC∽△ACD.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
2、如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：
AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
3、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD
求证:(1) △ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BC
证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC
∵ ∠A=∠BDC= 90°,
∴ △ABD∽△DCB四、课堂小结
本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲
过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这
一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．
五、布置作业
教材36页练习1、2、3题
当堂测评
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）．
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2、在△ABC和△ABC中，∠A＝∠A＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
1 1 1 1
A．∠B＝∠B B.＝
1
C.＝ D.＝
3、如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相
似的是( )
A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP：BC=2：3
4、如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________
5、如图， 是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交 于点E,则CF:EF的值是
________.6、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
7、如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝
∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
当堂测评答案
1. B 2.D 3. C 4. △CEA、△CAB.
5. 5：1
提示:如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,
∵点F是AB的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.
设EF=K,则AE=2K,AF= K,即BF= K,BC=2 K，CF=5K.
∴CF:EF=5:1.
6.（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又 ∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE；
（2）相似；∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠CBA－∠CBE，∴∠EAF＝∠EBA，
又 ∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA．
7.解：(1)证明：∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，
∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.
又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.
又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，
∴△AFD∽△AGB，
∴＝.
∵AD＝3，AB＝5，∴＝.
