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27.3 位 似
第2课时 平面直角坐标系中的位似
学习目标：1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，
点的坐标变化的规律. (重点、难点)
3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的异同，并能在复杂图形中找出这些
变换.
自主学习
一、知识链接
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形
叫做 ，这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于 ， 对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形?
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 位似的基本模型：合作探究
一、要点探究
探究点1：平面直角坐标系中的位似变换
观察1 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．以原点 O 为位似中心，
相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.
回答1 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；A" ( ， )，B" ( ， ).
观察1 △AOC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中
心，相似比为 2，将△AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
回答2 如图，把 △AOC 放大后 A，O，C 的对应点为
A' ( ， )，C' ( ， )；A" ( ， )，C" ( ，
).
思考 1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？2.所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？
如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
【要点归纳】1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其
对应顶点的坐标的比为－k．（位似中的相似比k一般指新图形与原图形的比）
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ．
【针对训练】1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O
为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标
为( )
A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1)
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图
形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，则
△A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
【典例精析】
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 .
【提示】画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′
的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
【针对训练】在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，
0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它
与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
探究点2：平面直角坐标系中的图形变换
思考 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之
间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
【针对训练】将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的长度为1个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 点C 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转180°．
二、课堂小结
当堂检测
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点
弄脏了，则 E 点坐标为 ( )A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6)
第2题图 第3题图
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的
点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是
对应点，△ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′的面积是 .
5. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似
中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
6. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).
(1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的位似图形 △A′B′C′；
(2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标.
7. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0).
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移1 个单位长度后得△A O B ，则点 A 的坐标为 ，
1 1 1 1△A O B 的面积为 ；
1 1 1
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △A O B ，则点 A 的坐标为 ；
2 2 2 2
(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A O B ，则点 A 的坐标为 ；
3 3 3 3
(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A O B ，若点 B 在 x 轴
4 4 4 4
负半轴上，则点 A 的坐标为 ，△A O B 的面积为 .
4 4 4 4
拓展提升：
8. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，
－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
【分析】此时两个正方形位似，但未指明对应的点，因此需要分类讨论
参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 位似图形 位似中心 相似比 平行或在同一条直线上
2. 解：看它的对应点的连线是否交于一点
3. 解：过位似中心与其他各个顶点各作一条直线，按位似比在直线截取对应长度的线段，
依次连接.
合作探究一、要点探究
探究点1：平面直角坐标系中的位似变换
回答1 2 1 2 0 -2 -1 -2 0
回答2 8 8 10 0 -8 -8 -10 0
【针对训练】1. D 2.1:3
【典例精析】
例1 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，
0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
【针对训练】解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描
点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，
A″ (-4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
探究点2：平面直角坐标系中的图形变换
【针对训练】解：（1）如图中红色三角形，横坐标不变，纵坐标加3；
（2）如图中蓝色三角形，纵坐标互为相反数；
（3）如图中粉色三角形，C不变，A横纵坐标均为-2，B的横坐标－1，纵坐标+1.（4）如图中绿色三角形，C不变，A的横纵坐标均加4，B的横坐标加2，纵坐标-2.
当堂检测
1. C 2. A 3. (-2a，-2b) 4. 6
5. 解：点的坐标为A' (4，－4)，B' (8，－10)，C' (10，－4)；A″ (－4，4)，B″ (－8，
10)，C″ (－10，4).
6. 解：（1）如图所示.
（2）△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4).
7. (1) （2,4） 8 (2) （-4，-3）
(3) （3，-4） (4) （-6，-8） 32
拓展提升：8. (1，0) 或 (－5，－2)
