文档内容
28.2.2 应用举例
第3 课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)
2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的
铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝
＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．
二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形
【类型一】 利用方位角求垂直距离
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即
线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．
已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的
这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．
根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会
穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，
BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得
PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】 利用方位角求水平距离
“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，
C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路 A处测得C村在北偏东
60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所
修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD
中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的
长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝，∴AD＝＝
CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝CD.又∵AD－BD＝
500，∴CD－CD＝500，解得CD≈433(m)．
答：所修公路长度约为433m.
方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，
有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的
余角等知识转化为所需要的角．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形
【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题
如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水
坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．
解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB
的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．
解：分别过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为 E、F，可得 BE∥CF，又
∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡
度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝＝2，DF＝＝2，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2＝5＋2(m)．
答：坝底AD的长度为(5＋2)m.
方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题
如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为
6m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的
∠ACB＝14°)．
(1)求车库的高度AH；
(2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m，参考数据：sin14°≈0.24，
cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．
解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；
(2)利用tan14°＝，求出BC的长即可．
解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6)2，解得x
＝6，故车库的高度AH为6m；
(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC 中，
∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝，即0.25＝，解得BC＝12m.
答：点B与点C之间的距离是12m.
方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的
正切值是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．方位角的意义；
2．坡度、坡比的意义；
3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通
过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过
程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积
极主动地学习.
