文档内容
必刷大题 18 统计与统计分析
1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这
200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点
值为代表)．
解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是
(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交
叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对 120个接种
与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的 2×2
列联表：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗 20 30
已接种牛痘疫苗 10 60
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概
率；
(2)是否能依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘
疫苗有关？附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
解 (1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P＝＝，
1
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
P＝＝.
2
(2)列联表如表所示：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 合计
未接种牛痘疫苗 20 30 50
已接种牛痘疫苗 10 60 70
合计 30 90 120
零假设为H：密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗无关．
0
则χ2＝≈10.286>6.635＝x ，
0.01
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为密切接触者未感染猴
0
痘病毒与接种牛痘疫苗有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
3．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意
识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，
本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污
染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.
(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，
求这30个企业造成污染点的总体方差．
解 (1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，
所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10
名中第六名与第七名数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x，x，…，x ，其平均数记为，方差记为
1 2 20
s；
把剩下10个数据记为y，y，…，y ，其平均数记为，方差记为s；
1 2 10
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.
由题意可知，＝＝17，
＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，
则＝×(510－330)＝9，由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝×{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]}
代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，
所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
4．(2023·淄博模拟)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出x(万元)与年度销售量
i
y(万台)的数据，如表所示：
i
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
其中 y＝279.4，＝708.
i i
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合得到的回归方程为y＝1.63＋0.99，经计算(1)中的回归模型及该模
型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而
计算出年度广告费x为何值时，利润z＝200y－x的预报值最大？
参考公式：b＝＝，a＝－b.
解 (1)由题意可得
＝＝8，
＝＝4.2，
所以b＝＝＝0.17，
a＝－b＝4.2－0.17×8＝2.84，
y关于x的经验回归方程为y＝0.17x＋2.84.
(2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好，
所以选用回归方程y＝1.63＋0.99更好，
z＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326
＝－(－99)2＋10 127，
即当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大．
5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全
校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平
均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，
少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：
运动时间
性别 合计
“运动达人” “非运动达人”
男生 1 100 300 1 400女生 400 200 600
合计 1 500 500 2 000
零假设为H：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得 χ2≈31.746，根据小
0
概率值α＝0.001的χ2独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大
于0.001.
(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动
时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；
(2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动
时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，
方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)方法一 改变数据之后的列联表为
运动时间
性别 合计
“运动达人” “非运动达人”
男生 110 30 140
女生 40 20 60
合计 150 50 200
则调整后的χ2＝＝≈3.175<10.828＝x .
0.001
则根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，
原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
方法二 调整后的χ2＝
＝＝≈3.175<10.828＝x ，
0.001
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致
推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
(2)男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)，
由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1；女生运动时间的平均数为＝1.5，样本方差为s＝0.5.
记样本均值为，则＝＝2.2，
记样本方差为s2，则s2＝＝1.06，
所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06.
6．(2023·泰安模拟)近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新
能源汽车年销量w(万辆)如表所示，其中2018年～2022年对应的年份代码t为1～5.
年份代码t 1 2 3 4 5
销量w(万辆) 4 9 14 18 25
(1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数(精确到0.001)；
(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)，两个变量满足
1 1 2 2 n n
一元线性回归模型(随机误差e＝y－bx)，请写出参数b的最小二乘估计；
i i i
②令变量x＝t－，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于
x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数r＝，(t－)(w－)＝51，(w－)2＝262，(t－)2＝10，≈25.6.
i i i i
解 (1)通过作散点图如图所示，发现样本点大致分布在一条直线附近，
因此是线性相关．
r＝
＝≈≈0.996，
∴两变量有较强的正相关．
(2)①Q＝＝(y－bx)2＝(y－2bxy＋b2x)＝b2－2by＋，
i i i i i i
要使残差平方和最小，当且仅当b＝.
②∵x＝t－，y＝w－，
由①知b＝＝＝＝5.1，
∴y关于x的经验回归方程为y＝5.1x，
∴w－＝5.1(t－)，
∵＝3，＝14，∴w＝5.1(t－)＋＝5.1t－1.3，
当t＝8时，w＝5.1×8－1.3＝39.5(万辆)，
因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到39.5万辆．
