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期中重难点复习之解答题分阶练（三阶75题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
二次根式基础题型
1．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）计算：
(1)
(2)
2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算：
(1) ；
(2)
3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．4．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简 ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
5．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）观察下列等式：
① ；② ；
③ ；④ …
回答下列问题：
(1)利用上面你观察到的规律，化简 ______， _____．(2)计算： ．
勾股定理基础题型
6．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）一架长 13 米的梯子，如图那样斜靠在竖直的墙上，这时梯子
底端离墙5米
(1)此时梯子顶端离地面多少米?
(2)若梯子顶端下滑 1米，那么梯子底端将向左滑动多少米?
7．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，
为10米，第二条路是从A经过C到达B地， 为8米， 为6米，第三条路是从A经过D地到B
地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证： ；
(2)求 的长．8．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知 ， ， ， ，求
的长．
9．（23-24八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，四边形 中， ， 为对角线，
于E， ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求线段 的长．
10．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
是从点 出发的动点，沿 的轨迹以2 的速度向点 运动，设点 的运动时间为(1)当 时，求 的面积．
(2)是否存在点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时 的值；若不存在，请
说明理由．
(3)若点 在 的角平分线上 不与点 重合 ，求 的值．
平行四边形基础题型
11．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，四边形 中， ， 与 相交于点O，
，求证：四边形 是平行四边形．
12．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ，
分别交 ， 于点 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
13．（2022·广西柳州·模拟预测）已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线
上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．
14．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点，
过点A作 交 的延长线于F， 交 于 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
15．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形 中， ．将四边形
沿直线 折叠，使点D落在 边上的点F处．(1)求 的长．
(2)求 的长．
二次根式提高题型
16．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
17．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算．
(1) ；
(2) ．
18．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
19．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）问题：判断下面各式是否成立．
（1） ；（2） ；（3）
探究1：你判断完上面各题后，猜想 ________．
探究2：归纳上面各式，得出一个猜想，用含 的式子表达：________（其中 ）．
20．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将 与 称为一对“对偶式”，
因为 ，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将
和 中的“ ”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如
．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做
分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)对偶式 与 之间的关系是____________；
A.互为相反数 B.绝对值相等 C.互为倒数(2)已知 ， ，化简 ， ；
(3)解方程： ．
［提示：令 ， ］．
(4)求 的值．
勾股定理提高题型
21．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P是等边 内的一点，分别连接 ，以
为边作 ，且 连接 ．
(1)判断 与 之间的大小关系，并说明理由．
(2)若 ，求 的度数．
22．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）阅读下列一段文字，回答问题．
[材料阅读]平面内两点 ， ，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如图1， ， ，则 ＝
[直接应用]
(1)已知 ， ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中， ， ， 与轴正半轴的夹角是 ．
①求点B的坐标；
②试判断 的形状．
23．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， 是 的平分线，过点 作
于点 ，延长 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
24．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且 ，n
为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由．
25．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，将长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，点C落
在点 处，折痕为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
平行四边形提高题型
26．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在等腰直角三角形 中， ，
， 是 的中点， ， 分别是 ， 上的点（点 不与端点 ， 重合），且
，连接 并取 的中点 ，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)当点 在什么位置时，四边形 的面积最小？并求四边形 面积的最小值．27．（2023·吉林长春·二模）完成下列各题
(1)【问题背景】如图①，在 中， ，点D为 的中点， 交直线
于点F，连接 ．求证： ．
【分析解决】∵ ，点D为 的中点，
∴ ．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴ ．…
在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系．…
请你延续以上思路，完成本题结论的证明．
(2)【变式探究】如图②，将【问题背景】中的 改为 ，其余条件不变．判断
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由．
(3)【结论应用】在图①中，若 ，则 ______°．
在图②中，若 ，则 ______°．
28．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）在平面四边形 中，点E是 上任意一点，延长 交
的延长线于点F．(1)在图1中，当 时，求证： 是 的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，如图2，若 ，点G是 的中点，请求出 的度数．
29．（2023·山东菏泽·二模）如图1，正方形 与正方形 有公共顶点 ，点 分别在边 和
上，连接 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ．
(1)【观察猜想】
线段 与 之间的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)将图1中的正方形 绕点 顺时针旋转至图2的位置， 所在直线交 于点 ，其他条件不变，
请尝试探究线段 与 之间的关系是否仍然成立？
【探究思路】
延长 至点 ，使 ，连接 ，可证明 ，从而将线段 转化为线段 ，进
而探究所需结论．
【问题解决】
①请在图2中按要求作出辅助线，并写出 的证明过程；
②线段 与 之间的关系是否仍然成立？说明理由．
30．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图 ，在等腰 中， ，点 在 上（且
不与点 、 重合），在 的外部作等腰 ，使 ，连接 ，分别以 ， 为邻
边作平行四边形 ，连接 ．(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)如图 ，将 绕点 逆时针旋转，当点 在线段 上时，连接 ，求证： ；
(3)如图 ，将 绕点 继续逆时针旋转，当平行四边形 为菱形，且 在 的下方时，
若 ， ，求线段 的长．
二次根式压轴题型
31．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式： ，
当且仅当 时取到等号．
【提出问题】
若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最
小值，最小值为4．【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）2＋3______ ；6＋6______ ．（用“＝”“＞”“＜”填空）
（2）当 ，式子 的最小值为______；
【能力提升】
（3）当 ，则当x＝______时，式子 取到最大值；
（4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个
长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
32．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．
解：∵ ， ， ∴ ，
∴ ．
∴ 时， 的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)用一段长为 的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面
积是多少；
(3)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形
面积的最小值．
33．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：
已知a，b为非负实数， ，
，当且仅当“ ”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知 ，求代数式 最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ．
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，代数式 到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最
短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知 ，则自变量x取何值时，代数式 取到最大值？最大值为多少？(4)若x为任意实数，代数式 的值为m，则m范围为______．
34．（22-23八年级上·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式 （ ， ，
）化简呢？如能找到两个数 ， （ ， ），使得 ，即 ，且使
，即 ，那么 ， ，
双重二次根式得以化简．
例如化简： ，
因为 且 ，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），使
得 ，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = ， = ；
(2)化简： ；
(3)计算： ．
35．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中 为满足不等式的最大整数， 为满足不等式的最小整数），则称无理数 的“麓外
区间”为 ，如 ，所以 的麓外区间为 ．
(1)无理数 的“麓外区间”是 ；
(2)若 ，求 的“麓外区间”；
(3)实数 满足 ，求 的算术平方根的“麓外区
间”．
勾股定理压轴题型
36．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．37．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知 中， ，点D为 的中点，
．
(1)如图1，点E，F分别是边 上的点， ，求 的长．
(2)如图2，若点E，F分别为 延长线上的点， 平分 ，交直线 于点P，试确定
之间的数量关系，并加以证明．
38．（2024·辽宁沈阳·一模）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角 和 摆在一起，
其中直角顶点A重合， ， ， ．
(1)用数学的眼光观察．
如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)用数学的思维思考．
如图2，连接 ， ，若F是 中点，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)用数学的语言表达．
如图3，延长 至点F，满足 ，然后连接 ， ，当 ， ， 绕A点旋转得到 三点共线时，求线段 的长．
39．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 是等边三角形，点D为平面内一点，连接 、
， ，
(1)如图①，当点D在 下方时，连接 ，延长 到点E，使 ，连接 ．
①求证： ；
②如图②，过点A作 于点F，直接写出线段 、 、 间的数量关系；
(2)若 ， ，直接写出点A到直线 的距离．
40．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【初步发现】（1）直线 和线段 如图1所示，连接 ，若 ，则
___________线段 的垂直平分线；（填“是”或“不是”）
【深入研究】
（2）如图2， 与 都是等边三角形，连接 ，求证： ；
【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形 的草地， ，现要将这块草地扩
展成四边形 的形状，用来种植不同的花卉，连接 ，根据规划要求，需要满足
，点 在 上， ．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形
的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形 的周长）．
平行四边形压轴题型
41．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，在矩形 中， ，动点P从B出
发，以每秒1个单位的速度，沿射线 方向移动，将 沿直线 翻折，得到 ，设点P的运动
时间为 ，(1)如图2，当点 落在 上时，显然 是直角三角形，求此时t的值；
(2)是否在异于图2的时刻，使得 是直角三角形？若存在，请写出所有符合题意的t的值？若不存在，
请说明理由．
42．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 中， 为 边上一点， 为 延长线上一
点，且 ．过 作 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由．
43 ． （ 23-24 八 年 级 下 · 黑 龙 江 哈 尔 滨 · 阶 段 练 习 ） 已 知 ， 在 四 边 形 中 ，
．
(1)如图1，求 的长．
(2)如图2，点 在 的延长线上，连接 ，若 ，且 的面积为9，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，动点 从点 出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点 匀速运动，动点
从点 出发以每秒3.5个单位长度的速度沿线段 向终点 匀速运动，点 和点 同时出发，当点 到达
终点停止运动时点 也随之停止运动，当运动时间 （秒）为何值时，以 四点为顶点的四边形
是平行四边形？此时取点 为 中点，并求线段 的长．
44．（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）如图（1），已知矩形 ，点 是射线
上一点，将 沿 翻折，点 对应点为 ．
(1)当 ，点 落在 上时，在图（2）中作出 并求 的长．
(2)如图（3）当点 落在 的中点时，求 的值．
(3)当 是直角三角形时，求 的长．
45．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）等边三角形 的边长为8，D是 的中点，动点P从点A
出发，沿折线 （不包括点C）以每秒1个单位长度的速度向点C运动．连接 ．如图1和图2，
当点P在线段 上时，将 沿 折叠；如图3，当点P在线段 上时，将四边形 沿 折
叠，点A的对应点为 ．设点P的运动时间为 ．(1)求 的长；并求当 时， 的度数；
(2)求点 落在 内部（包括边界）的时长；
(3)当点P在线段 上时，求 周长的最小值；（不考虑B，P， 三点共线的情况）
(4)点P在线段 上运动的过程中，当 所在直线垂直于 的一边时，直接写出t的值．
