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8.3实际问题与二元一次方程组
和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
题型1：和差倍分问题
1.（2022秋•城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共 15吨，实际生产了17
吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）
吨，
A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23
【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和
玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次
方程组，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，
则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨，
依题意得： ，
解得： ，
∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．
即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋•自贡期末）列方程解应用题：某校为加强学生体育锻炼，用
1365元买了篮球和足球共15个，其中篮球每个100元，足球每个85元，问学校买篮
球、足球各多少个？【分析】设学校买篮球x个，足球y个，根据“用1365元买了篮球和足球共15个，
其中篮球每个100元，足球每个85元”列出方程组，即可求解．
【解答】解：设学校买篮球x个，足球y个，根据题意得：
，
解得 ，
答：学校买篮球6个，足球9个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解
题的关键．
【变式1-2】．（2022春•澄迈县期中）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若
干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11架，乙种型号的无人机架数比
总架数的三分之一少2架，求该公司上半年生产的甲、乙型号的无人机各多少架？
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数
比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方
程组，解方程组即可．
【解答】解：设该公司上半年生产的甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，
由题意得： ，
解得： ，
答：该公司上半年生产的甲种型号无人机38架，乙种型号无人机16架．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式1-3】小亮家装修，需购进甲、乙两种地砖共100块，共花费5600元，已知
甲种地砖单价是80元/块，乙种地砖的单价是40元/块，问甲、乙两种地砖各购进了
多少块？
【答案】解：设小亮家购进甲种地砖 x 块，购进乙种地砖 y 块，
{ x+ y=100
依题意有： ，
80x+40 y=5600
{x=40
解得 ，
y=60
答：小亮家购进甲种地砖40块，乙种地砖60块.
【解析】【分析】设小亮家购进甲种地砖x块，购进乙种地砖y块，根据甲、乙两种地砖共100块可得方程x+y=100，根据共花费5600元可得方程80x+40y=5600，联立求
解即可.
产品配套（调配）问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
题型2：配套问题
2.（2022春•南关区校级月考）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成．用1m3钢
材可做40个A部件或200个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材
做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？
【分析】设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配
套，根据用6m3钢材制作的部件刚好配套，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【解答】解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好
配套，
根据题意得： ，
解得： ．
答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式2-1】（2022•兴平市模拟）某工厂车间采用智能数字机床生产纸杯和杯盖．已
知一台机床每小时平均可以生产纸杯600个或者生产杯盖800个，车间共有14台机
床，应怎样分配机床，才能使每小时生产的杯身和杯盖正好配套？
【分析】设车间有x台机床生产杯身，y台机床生产杯盖，根据“车间共有 14台机
床，每小时生产的杯身和杯盖正好配套”列二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设车间有x台机床生产杯身，y台机床生产杯盖，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：分配8台机床生产杯身，6台机床生产杯盖．
【点评】本题考查了二元一次方程组，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•沐川县期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，
做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方
形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
（1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用
完，求两种纸盒生产个数．
（2）纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产 70张长方形纸板或者100张正
方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由
其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸
板？
【分析】（1）设生产竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据生产的两种无盖
纸盒正好使用长方形纸板340张、正方形纸板160张，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排m名工人生产长方形纸板，则安排（78﹣m）名工人生产正方形纸板，
根据一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套且每天生产的两种纸板做成的竖式纸盒与横式
纸盒配套，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设生产竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
依题意得： ，
解得： ．
答：生产竖式无盖纸盒40个，横式无盖纸盒60个．
（2）设安排m名工人生产长方形纸板，则安排（78﹣m）名工人生产正方形纸板，
依题意得： ＝ ，
解得：m＝60，
∴78﹣m＝78﹣60＝18．
答：纸板车间应该安排60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出
一元一次方程．
【变式2-3】（2022春•庐阳区期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任
务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A
型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
（1）工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？
（2）现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工
人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数
式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？
【分析】（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零
件，根据生产的零件总数＝每人每天生产的数量×人数，结合每套产品由4个A型零
件和3个B型零件配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，
再将其代入 中即可求出结论；
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名
工人生产B型零件，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出x的值；
②设至少需要补充m名新工人才能在规定期内完成总任务，安排 n名工人生产B型
零件，则安排（60﹣n）名工人及 m 名新工人生产 A 型零件，由每天需要生产
1200÷20套设备，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型
零件，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝24，
∴ ＝ ＝36．
答：工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能配套组成36套产品．
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名
工人生产B型零件，
根据题意得：
＝ ，
解得x＝24﹣ m．
②设至少需要补充m名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务，安排 n名工人生
产B型零件，则安排（60﹣n）名工人及m名新工人生产A型零件，
根据题意得： ，解得： ，
答：至少需要补充60名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是
找准等量关系，正确列出一元一次方程及二元一次方程组．
工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
题型3：工程问题
3.（2023•万宁一模）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行
整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程
队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别
整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道 x米，乙工程队整
治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出
关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表
示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）① ，
故答案为： ， ；
②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）
选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则，
解得 ，
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则
，
解得 ，
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16＝240米；乙整治的河道长度：5×24＝120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）现有一段长为180米的河道整治任务由A，B
两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时
20天．
（1）根据题意，甲列出的方程组为 ，分析甲所列的方程组，请指出未
知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ；
（2）若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二
元一次方程组，并求出m，n的值．
【分析】（1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设 A工程队用时x
天，B工程队用时y天，乙所列方程组中未知数为：设甲共整治x米，乙共整治y
米，据此补全方程组即可；
（2）根据“将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完
成．A工作队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天”找到等量关
系，列出方程并解答即可．
【解答】解：（1）根据题意，甲：x表示A工程队用的时间，y表示B工程队用的时
间；
故答案为：A工程队用的时间；B工程队用的时间；（2）根据题意知， ，
解得 ，
答：m的值为60，n的值是120．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式3-2】（2022春•涪陵区期末）列方程解应用题：
植树造林可以减少二氧化碳排放，为实现“碳中和”做出贡献，还可以美化环境：为
此某区计划由甲施工队把城区主干道某一段公路的一侧栽上若干棵小叶榕树；若施工
队平均每人植5棵小叶榕树，则施工队可以种植的棵数比计划种植的棵数少10棵；
若施工队平均每人植6棵小叶榕树，则施工队可以种植的棵数比计划种植的棵数多5
棵．求甲施工队有多少人？计划种植的小叶榕树有多少棵？
【分析】设甲施工队有x人，计划种植的小叶榕树有y棵，根据“若施工队平均每人
植5棵小叶榕树，则施工队可以种植的棵数比计划种植的棵数少10棵；若施工队平
均每人植6棵小叶榕树，则施工队可以种植的棵数比计划种植的棵数多5棵”，即可
得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲施工队有x人，计划种植的小叶榕树有y棵，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲施工队有15人，计划种植的小叶榕树有85棵．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
【变式3-3】（2022春•淮阴区期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时
施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单
独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用
少？
（3）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；
②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、
（2）问的条件及结论）
【分析】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，根
据“若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出
关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用需付总费用＝每天需付费用×工作时间，即可求出单独请甲、乙两队所需付
总费用，比较后即可得出结论；
（3）利用需付总费用及少盈利钱数＝（每天需付费用+200）×工作时间，可分别求出
选择三个装修方式需付的总费用及少盈利钱数，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y
元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，
正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-4】（2021春•思明区校级月考）要修一段420km长公路，甲工程队先干2天，
乙工程队加入，两队再合干2天完成任务：如果乙队先干2天，甲、乙再合做3天完
成任务，问甲、乙两队每天各能修路多少千米？
【分析】设甲、乙两队每天各能修路x、y千米，根据两种不同的修路方式，分别列
出方程，解方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：设甲、乙两队每天各能修路x、y千米，
由题意得， ，
解得： ，
答：甲、乙两队每天各能修路90千米，30千米．利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
题型4：利润问题
4.（2022秋•河南期末）临近春节，水果持续畅销．某水果商购进第一批30箱耙耙
柑和20箱冰糖心苹果，共花费2700元，全部销售完．同种水果进价不变，水果商又
购进第二批50箱耙耙柑和40箱冰糖心苹果，共花费4800元．
（1）请你计算粑粑柑．冰糖心苹果每箱进价各多少元？
（2）水果商以耙耙柑80元/箱、冰糖心苹果60元/箱销售，50箱耙耙柑和20箱冰糖
心苹果很快销售完．接下来，水果商下调冰糖心苹果价格的10%，销售完10箱后，
再次下调冰糖心苹果价格的10%销售完剩下的箱，水果商销售第二批水果获得的利润
是多少？
【分析】（1）设耙耙柑每箱进价为x元，冰糖心苹果每箱的进价为y元，然后根据
题意列一元二次方程组求解即可；
（2）先分别求出第一、二次下调价格后的单价，然后根据利润、售价、成本的关系
即可解答．
【解答】解：（1）设耙耙柑每箱进价为x元，冰糖心苹果每箱的进价为y元，
而 ，
解得 ，
答：耙耙柑每箱进价为60元，冰糖心苹果每箱进价为45元．
（2）第一次下调价格后，冰糖心苹果的单价为60×（1﹣10%）＝54元，
第二次下调价格后，冰糖心苹果的单价为54×（1﹣10%）＝48.6元，
所以利润为：50×（80﹣60）+20×（60﹣45）+10×（54﹣45）+10×（48.6﹣45）＝
1426元．
∴水果商销售第二批水果获得的利润为1426元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、利润与售价和成本的关系等知识点，正确列
出一元二次方程组是解答本题的关键．
【变式4-1】（2022秋•阜新县校级期末）某中学用1000元资金为全校在大型药店购进
普通医用口罩、N95口罩两种口罩共350个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩
成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个）
普通医用口罩 0.8 2
N95口罩 4 8
（1）该校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？（2）销售完这350个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？
【分析】（1）设该校在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，依据题意可
得方程组，解方程组即可求；
（2）根据总利润＝销量×（售价﹣进价）进行计算即可得．
【解答】解：（1）设该校在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该校在大型药店购进普通医用口罩300个，N95口罩50个．
（2）300×（2﹣0.8）+50×（8﹣4）＝560（元），
答：销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得利润560元．
【点评】此题考查二元一次方程组的应用，理解题意设未知数列出方程是解此题的关
键．
【变式4-2】（2022秋•市北区校级期末）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文
化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从
批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及
手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花
费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件利润×数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得： ，
解得： ．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件．
（2）（45﹣25）×80+（35﹣20）×140＝3700（元）．
答：该校这次义卖活动共获得3700元利润．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．【变式4-3】（2021秋•会宁县期末）某商场去年的利润为10万元，今年的总收入比去
年增加10%，总支出比去年减少了5%，今年的利润为30万元．求去年的总收入和总
支出？
【分析】设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，根据去年及今年的利润，即可
得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出去年的总收入和总支出．
【解答】解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，
依题意得： ，
解得： ．
答：去年的总收入为 万元，总支出为 万元．
行程问题（相遇与追及、顺流与逆流问题）
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
题型5：行程问题
5.（2022秋•城关区校级期末）甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比
乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出
发后2小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
【分析】设甲的速度是x千米/时，乙速度是y千米/时，由题意：甲乙两人从相距40
千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果
乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇，列出方程组求解即可．
【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙速度是y千米/时，
依题意得： ，
解得： ，
答：甲的速度是 千米/每小时，乙的速度是 千米/每小时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键．
【变式5-1】（2022春•眉山期中）在数据收集时发现，从教室到食堂需要先走楼梯下
楼，再走一段平地．假定人在平路上行走速度始终是 60米/分，下楼梯的时候速度始
终是20米/分，上楼梯的时候速度始终是10米/分．则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回来教室需要6分钟．请问楼梯有多少米，平地有多少米？
【分析】设楼梯有x米，平地有y米，利用时间＝路程÷速度，结合“从教室到食堂
需要4分钟，从食堂回来教室需要6分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【解答】解：设楼梯有x米，平地有y米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
答：楼梯有40米，平地有120米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•通川区校级期末）小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自
行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁
多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．
（1）两人的速度分别是多少？
（2）相遇后小梁多少时间到达A地？
【分析】（1）设小魏的速度为xkm/h，小梁的速度为ykm/h，由题意：出发2h两人相
遇．相遇时小魏比小梁多行 24km，相遇后0.5h小魏到达B地．列出二元一次方程
组，解方程组即可；
（2）由路程÷速度即可得出结论．
【解答】解：（1）设小魏的速度为xkm/h，小梁的速度为ykm/h，
由题意得： ，
解得： ，
答：小魏的速度为16km/h，小梁的速度为4km/h；
（2）2×16÷4＝8（h），
答：相遇后小梁8小时到达A地．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【变式5-3】（2021春•城厢区校级期中）列方程（组）解应用题
已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船
现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度．
【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速
度＝总路程，据此可列方程组求解．
【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．
，
解得： ．
答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时
【变式5-4】（2021秋•双牌县期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时
四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，
1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度．
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000
里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得： ，
解得： ．
答：风的速度为50里/分钟．
存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
1
12
月利率＝年利率× .
题型6：存贷款问题
6.为了准备小张上大学所需的学费20000元，他父母在他上七年级时参加教育储蓄，
准备先存一部分钱作学费（存款所得本利和不足以支付全部学费），等他上大学时再
贷所欠学费部分．小张父母存的是年利率为2.88%的六年期，上大学时贷款部分打算
用10年还清，年贷款利率为6.21%，贷款利息的50%由政府补贴．若参加教育储蓄
所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，则小张父母用了多少钱参加教育储蓄？
还准备贷款多少（假设这段时间利率不变，结果精确到10元）？
【分析】设小张父母用了x元钱参加教育储蓄，贷款y元，根据小张上大学需要学费
20000元且参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小张父母用了x元钱参加教育储蓄，贷款y元，依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ．
答：小张父母大约用了11570元钱参加教育储蓄，还准备贷款约6440元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
【变式6-1】某年，为民电子有限公司向某银行申请甲、乙两种贷款，共计136万元，
每年要付出利息 16.84万，甲种贷款每年的利率是 12%，乙种贷款每年的利率是
13%，求这两种贷款的数额各是多少？
【分析】设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，根据题目的等量关系可得出方程组，
解出即可得出答案．
【解答】解：设向银行申请了甲种贷款x万元，乙种贷款y万元．依题意有
，
解得： ，
答：向银行申请了甲种贷款84万元，乙种贷款52万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据等量
关系得出方程组．
【变式6-2】小明在银行同时用两种方式共计存了1000元钱，第一种为一年期，整存整
取共反复存取了三次，每次存款数额都相同，这种存款银行利率为1.98%，第二种三
年期整存整取，这种存款银行年利率为2.30%（均为单利），三年后同时在规定时间
取出，取出时扣除20%的利息税，两笔存款三年内共得利息52.128元．问．小明两
种存款各存入多少元？
【分析】利用两种方式共计存了1000元钱以及两笔存款三年内共得利息52.128元分
别得出等式求出即可．
【解答】解：设小明一年期存了x元，三年期存了y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：第一种存款为400元，第二种存款为600元．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的两个等量关系是解本题的关
键．
数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：
若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
题型7：数字问题
7.（2022春•宛城区期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和
个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的 多15，求这个两位数．
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意列二元一次方程组，
解方程组即可求解．
【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得 ，
解得： ，
∴这个两位数为63．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式7-1】（2022春•宁远县月考）已知一个两位数，它的十位上的数字 x比个位上
的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数
所列的方程组．
【分析】关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1；新数比原数小9．
等量关系为：①十位上的数字＝个位上的数字+1；②原数＝新数+9．
【解答】解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程x＝y+1；
根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程10x+y＝10y+x+9．
列方程组为 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，需掌握的知识点是两位数的表示方法：
十位数字×10+个位数字．
【变式7-2】（2021秋•驿城区期末）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结
果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多
少？
【分析】设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，根据“一个两位数，减去它
的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余
数是6”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其
代入（10x+y）中即可求出结论．【解答】解：设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，
依题意得： ，
解得： ，
∴10x+y＝10×6+6＝66．
答：这个两位数是66．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
【变式7-3】一个两位自然数，其个位数字大于十位数字．现将其个位数字与十位数字
调换位置，得到一个新数，且原数与新数的平均数为33．
（1）求原数的最小值；
（2）若原数的平方与新数的差为534，求原数与新数之积．
【分析】（1）设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，（x＞y），则原两位数是
（10y+x），新两位数为（10x+y），根据题意列出方程，求得x+y＝6，再根据x、y
的取值范围求得二元一次方程的解，最后由题目条件求得结果；
（2）由（1）得出原数与新数可能值，再通过原数的平方与新数的差为534，进行验
证，确定求出原数与新数之积．
【解答】解：（1）设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，（x＞y），则原两位
数是（10y+x），新两位数为（10x+y），根据题意得，
（10y+x）+（10x+y）＝33×2，
∴x+y＝6，
∵x、y均为正整数，x＞y，
∴x＝5，y＝1或x＝4，y＝2，
∴原数的最小值15；
（2）由（1）知，原数与新数可能为15与51，或24与42，
∵242﹣42＝534，
∴24×42＝1008．
方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使
用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
题型8：方案问题
8.（2022春•诸暨市月考）某物流公司在运货时有A、B两种车型，如果用3辆A型
车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一
次可运18吨货物．现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请帮物流公司设
计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金．
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次
可运输货物y吨，根据“用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用
2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物”，即可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需租用A型车m辆，B型车n辆，根据这些车一次可运输32吨货物且每辆车
都载满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得
出各租车方案，再求出各租车方案所需租金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物
一次可运输货物y吨，
依题意得： ，
解得： ．
答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物4
吨．
（2）设需租用A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：3m+4n＝32，
∴n＝8﹣ m．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 ，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案 1：租用 4 辆 A 型车，5 辆 B 型车，所需租车费用为 200×4+240×5＝2000
（元）；
方案 2：租用 8 辆 A 型车，2 辆 B 型车，所需租车费用为 200×8+240×2＝2080
（元）．
∵2000＜2080，
∴当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金为2000元．
【变式8-1】（2023•东方一模）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众
多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查
得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装
满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运
输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车
与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输 3100
件物质，列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方
案．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满
载运输y件物资
由题意可得： ，
解得： ，
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件
物资．
（2）解：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b＝3100，
∴ ．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根
据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
【变式8-2】（2022秋•市南区期末）2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会
纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只
“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容
融”的进价共计1550元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；
（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进
价是y元，根据4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元及5只“冰墩
墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，利用总
价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得
出各采购方案．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每
只进价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80
元；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，
根据题意得：150m+80n＝3000，
∴m＝20﹣ n，
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 ，
∴专卖店共有2种采购方案，
方案1：购进12只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；
方案2：购进4只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出
二元一次方程．
【变式8-3】（2022秋•碑林区校级期末）某医药超市销售A、B两种品牌的消毒液，购
买2瓶A品牌和3瓶B品牌的消毒液共需160元；购买3瓶A品牌和1瓶B品牌的消
毒液共需135元．
（1）求这两种品牌消毒液的单价；
（2）某学校为了给教室进行充分消杀，准备花1050元购进A、B两种品牌的消毒
液，且要求A品牌的消毒液的数量比B品牌多，请你给出有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A品牌消毒液的单价为x元/瓶，B品牌消毒液的单价为y元/瓶，根据“购买2瓶A品牌和3瓶B品牌的消毒液共需160元；购买3瓶A品牌和1瓶B品
牌的消毒液共需135元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；
（2）设购进a瓶A品牌消毒液，b瓶B品牌消毒液，利用总价＝单价×数量，即可得
出关于a，b的二元一次方程组，结合a，b均为正整数，且a＞b，即可得出各购买方
案．
【解答】解：（1）设 A品牌消毒液的单价为 x元/瓶，B品牌消毒液的单价为 y
元/瓶，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A品牌消毒液的单价为35元/瓶，B品牌消毒液的单价为30元/瓶；
（2）设购进a瓶A品牌消毒液，b瓶B品牌消毒液，
根据题意得：35a+30b＝1050，
∴a＝30﹣ b．
又∵a，b均为正整数，且a＞b，
∴ 或 ，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进24瓶A品牌消毒液，7瓶B品牌消毒液；
方案2：购进18瓶A品牌消毒液，14瓶B品牌消毒液．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出
二元一次方程．
题型9：表格问题
9.（2022•海淀区校级开学）列方程（组）解应用问题：
“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年
正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了
一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/件 销售额/元
冰墩墩 雪容融
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
【分析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为 x元，“雪容融”玩具的零售价格为y
元，利用总价＝单价×数量，结合表格内的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程
组，解之即可得出结论．
【解答】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格
为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75
元．
【变式9-1】（2022春•原阳县月考）某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残
奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这100个吉祥物玩具很快售完，所得利润全部捐赠给了山区贫困学生．那么该
玩具店捐赠了多少钱？
【分析】（1）设购进冰墩墩x个，雪容融y个，利用总价＝单价×数量，结合该玩具
店用3300元购进冰墩墩、雪容融共100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）利用捐赠的钱数＝总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出
结论．
【解答】解：（1）设购进冰墩墩x个，雪容融y个，
依题意得： ，解得： ．
答：购进冰墩墩60个，雪容融40个．
（2）（50﹣35）×60+（40﹣30）×40
＝15×60+10×40
＝900+400
＝1300（元）．
答：玩具店捐赠了1300元．
【变式9-2】（2022春•门头沟区期末）下面的表格是某景点某天的门票价格及收入情
况，这天售出成人门票和学生门票各多少张？
成人门票 学生门票
售出数量（单位：张） 3000
单价（单位：元/张） 40 20
总价格（单位：元） 78000
【分析】设这天售出成人门票x张，学生门票y张．根据售出门票张数＝成人门票张
数+学生门票张数结合总收入＝成人门票单价×成人票张数+学生门票单价×学生票张
数即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设这天售出成人门票x张，学生门票y张．
根据题意得： ，
解得： ．
答：这天售出成人门票900张，学生门票2100张．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系总收入＝售出成人票收入
+售出学生票收入列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-3】（2022春•东阳市期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟
安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车
近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一次 12 8 360
第二次 18 12 ▇
第三次 5 4 160
（1）表格中被污渍盖住的数是 ；
（2）请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
（3）请你通过计算说明所有可行的运输方案．【分析】（1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运
算防疫物资的质量；
（2）设每辆A货车每次可以运送防疫物资x吨，每辆B货车每次可以运送防疫物资y
吨，根据第一、三次运输记录的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车
均满载，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出各
运输方案．
【解答】解：（1）∵12：8＝18：12，
∴表格中被污渍盖住的数是360× ＝540（吨）．
故答案为：540．
（2）设每辆A货车每次可以运送防疫物资x吨，每辆B货车每次可以运送防疫物资y
吨，
依题意得： ，
解得： ．
答：每辆A货车每次可以运送防疫物资20吨，每辆B货车每次可以运送防疫物资15
吨．
（3）设使用m辆A货车，n辆B货车，
依题意得：20m+15n＝190，
∴n＝ ，
又∵m，n均为自然数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种可行的运输方案，
方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；
方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；
方案3：使用8辆A货车，2辆B货车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关
系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
题型10：几何图形问题
10.（2023春•淮北月考）如图，在数学课上，王老师用5个完全相同的小长方形在
无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知每个小长方形的面积为 60cm2，求大长方
形的周长．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可知，大长方形的宽是小长方
形的长和宽之和，大长方形的长是小长方形的长的2倍，是小长方形宽的3倍，且小
长方形的面积为60cm2，列出方程组求解即可．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm．
根据题意得 ，
解得： ， ，
∴大长方形的周长为4x+5y＝4×3 +5×2 ＝22 （cm）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二次根式的混合运算，解题的关键是明
确题意，找到等量关系，列出方程组．
【变式10-1】（2022春•连山区期中）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小
长方形．
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形列方程求出小长方形的长
与宽即可；
（2）利用总面积减去各小长方形的面积即可．
【解答】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得： ，
解得 ，
答：小长方形的长是8cm，宽是2cm．
（2）S阴影部分 ＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
答：阴影部分的面积为44cm2．【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系
进行列式．
【变式10-2】．（2022春•靖江市校级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方
形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”
结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为
3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正
方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问
题．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示
为（2x+y）cm或（2y+3）cm，
那么可得出方程组为： ，
解得： ，
则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2），
答：小长方形的面积为135cm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组
是解题的关键．
【变式10-3】（2022春•南安市期末）在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出
如图所示的8个大小一样的小长方形．
（1）求小长方形的长和宽．
（2）求大长方形中阴影部分的面积．【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用大长方形中阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣8×小长方形的面积，即可
求出结论．
【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得： ．
答：小长方形的长为5，宽为2．
（2）12（x+2y）﹣8xy＝12×（5+2×2）﹣8×5×2＝28．
答：大长方形阴影部分的面积为28．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
一、单选题
1．（2021七上·包河期末）有四个完全相同的小方形和两个完全相同的大长方形按如图
所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．2.5
【答案】B
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：20+y-x=10+x-y，
即2x-2y=20-10，
整理得：x-y=5．
则小长方形的长与宽的差是5．故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意列出方程20+y-x=10+x-y，即
2x-2y=20-10，再化简求解即可。
2．（2022·黑龙江模拟）为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组
进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】A
【解析】【解答】解：设可分成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组，
依题意得：4x+6 y=50，
25-3 y
∴x= ．
2
又∵x，y均为自然数，
{x=11 {x=8 {x=5 {x=2
∴ 或 或 或 ，
y=1 y=3 y=5 y=7
∴共有4种分组方案．
故答案为：A．
【分析】设可分成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组，根据题意列出方程
4x+6 y=50，再求解即可。
{ax- y=4 { x=2
3．（2022七下·田家庵期末）已知关于x，y的方程组 的解是 ，则
3x+by=4 y=-2
a+b的值是（ ）
A．2 B．1 C．1 D．0
【答案】A
{ x=2 {ax- y=4
【解析】【解答】∵ 是关于x，y的方程组 的解，
y=-2 3x+by=4
{ 2a+2=4
∴ ，
3×2-2b=4
解得a=1，b=1，
则a+b=1+1=2．
故答案为：A．
【分析】把x和y值代入，即可求得.
4．（2022·鸡西模拟）新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传
播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常
有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩
（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】【解答】解：设小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科
口罩y包，由题意可得：
6x+4 y=40，
3
解得 y=10- x，
2
2
∵40÷6=6 ，A，B两种型号的医用外科口罩都买，
3
∴0＜x≤6 ，
{x=2 {x=4 {x=6
∴所有购买方案为 ， ， ，
y=7 y=4 y=1
∴有3种购买方案，
故答案为：B．
【分析】设小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根
据题意列出方程6x+4 y=40，再求解即可。
5．（2022八上·青岛期末）某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小
宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍
有y间，得方程组：（ ）
{5x+8 y=198 {8x+5 y=198
A． B．
x+ y=30 x+ y=30
{ x+ y=198 { x+ y=198
C． D．
8x+5 y=30 5x+8 y=30
【答案】B
【解析】【解答】解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，
由题意可得，
{8x+5 y=198
，
x+ y=30
故答案为：B．
{8x+5 y=198
【分析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题意直接列出方程组 即
x+ y=30
可。
二、填空题
6．（）现有1元的人民币 x 张，5元的人民币 y 张，共120元，这个关系用方程可以表示为 .
【答案】x+5y=120
【解析】【解答】解：由题意得：x+5y=120.
故答案为：x+5y=120.
【分析】根据x张一元人民币的总钱数与y张5元人民币的总钱数之和为120元，建立
二元一次方程即可.
7．（2022七下·龙口期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密
文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.若某种加密规则为：明文m、n
对应的密文为m-3n，2m+3n．例如：明文1，2对应的密文是-5，8．当接收方收到密
文是6，3，则解密后得到的明文是 ．
【答案】3，-1
【解析】【解答】根据题意有
{m-3n=6
2m+3n=3
{m=3
解得：
n=-1
故答案为：3，-1．
{m-3n=6
【分析】根据题意列出方程组 ，再求解即可。
2m+3n=3
8．（2022八下·单县期末）如果a，b都是有理数，且满足a+2b+√2=4+(a-b)√2，
则a+b的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由a+2b+√2=4+(a-b)√2得：
{a+2b=4
，
a-b=1
{a=2
解得 ，
b=1
所以a+b=3，
故答案为：3．
{a+2b=4
【分析】利用待定系数法可得 ，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入计
a-b=1
算即可。
9．（2022七下·新泰期末）淇淇的爸爸骑摩托车载着淇淇在公路上匀速行驶，在12：00
点时，淇淇看到路边里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为7，在13：00
点时看到路边里程碑上的数仍然是一个两位数，但十位与个位数字与12：00点时看到的正好互换了，在14：00点时看到的数比12：00点时看到的两位数中间多了个0．则
淇淇在14：00点时看到路边里程碑上的数为 ．
【答案】106
【解析】【解答】解：设淇淇在12：00点时看到的两位数的十位数字为x，个位数字
为y，
依题意可得：10y+x-（10x+y）=100x+y-（10y+x）
∴y=6x，
又∵x，y均为一位整数，
∴x=1，y=6，
∴100x +y=100×1+ 6=106．
故答案为：106．
【分析】设淇淇在12：00点时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题
意列出方程10y+x-（10x+y）=100x+y-（10y+x）求出x、y的值，即可得到答案。
10．（2022七下·盘龙期末）将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，
有 种兑换方案．
【答案】3
【解析】【解答】解：设10元的有x张，20元的y张，
由题意得10x+20y=50，
∵x、y均为整数，
{x=5 {x=1 {x=3
∴ ， ， ，
y=0 y=2 y=1
∴共有3种兑换方案，
故答案为：3．
【分析】先求出10x+20y=50，再根据x、y均为整数，求解即可。
三、解答题
11．（2022七下·大连期中）列方程组解应用题．某工厂生产的甲、乙两种产品均需加
入同种添加剂，甲产品每箱需加该添加剂2克，乙产品每箱需加该添加剂3克，已知
270克该添加剂恰好生产了甲、乙两种产品共100箱，问甲、乙两种产品各生产多少箱．
【答案】解：设甲产品生产x箱，；乙产品生产y箱，
{ x+ y=100
根据题意得： ，
2x+3 y=270
{x=30
解得 ．
y=70
答：甲产品生产30箱，乙产品生产70箱．
【解析】【分析】 设甲产品生产x箱，乙产品生产y箱，根据题意列出方程组{ x+ y=100
，再求解即可。
2x+3 y=270
12．（2021八上·商河期末）“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积
极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中
小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？
【答案】解：设原计划生产小麦x吨，生产玉米y吨，由题意得
解得
吨， 吨，
答：该专业户去年实际生产小麦11.2吨，玉米8.8吨．
【解析】【分析】设原计划生产小麦x吨，生产玉米y吨，根据题意列出方程组
，再求解即可。
四、综合题
13．某物流公司现有31吨货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使
每辆车都装满货物，恰好一次运完.已知每种型号车的载重量和租金如下表：
车型 A B
载重量（吨/辆） 3 4
租金（元/辆） 1000 1200
（1）请你帮该物流公司设计租车方案；
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
31-4b
【答案】（1）解：∵根据题意，得3a+4b=31，∴a=
3
{a=9 {a=5 {a=1
∵a，b为正整数，∴ 或 或
b=1 b=4 b=7
∴有3种租车方案：①A型车9辆，B型车1辆；②A型车5辆B型车4辆；③A型
车1辆，B型车7辆.
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200=10200（元）
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）
∵10200>9800>9400，
∴最省钱的方案是租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.【解析】【分析】(1)根据总运量为31吨建立关于a、b的二元一次方程，结合a、b为
正整数，找出符合条件的方案即可；
(2)根据(1)的方案，分别计算三种方案的租金，再比较租金的大小，即可得出最省钱的
方案.
14．（2022七下·梅河口期末）一批机器零件共558个，甲先做3天后，乙再加入，两人
共同再做6天刚好完成．设甲每天做x个，乙每天做y个．
（1）列出关于x，y的二元一次方程．
（2）用含x的代数式表示y，并求当x=32时，y的值是多少？
（3）若乙每天做48个，则甲每天做多少个？
【答案】（1）解：由题意可得(3+6)x+6 y=558
3 3
（2）解：由（1）可得y=- x+93，当x=32时，y=- ×32+93=45．
2 2
（3）解：当y=48时，(3+6)x+6×48=558，x=30．答：若乙每天做48个，则甲每
天做30个．
【解析】【分析】（1）根据题意求出 一批机器零件共558个，甲先做3天后，乙再加
入，两人共同再做6天刚好完成 即可作答；
3
（2）先求出 y=- x+93， 再作答即可；
2
（3）根据题意先求出 (3+6)x+6×48=558， 再作答即可。
