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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 07 导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型4.对于不等式 ，构造函数
模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型6.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
二、题型精讲精练
【典例1】定义在R上的可导函数 满足 ，若 ，则m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，则 在R上单减，
又 等价于 ，
即 ，由单调性得 ，解得 .故选：B.
【典例2】已知定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】令 ，则 ，所以 在 单调递减，
不等式 可以转化为 ，即 ，所以 .故选：D.
【典例3】设函数 是函数 的导函数， ， ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，令函数 ，则 ，且 ，
所以 是 上的增函数， ，解得 ．故选：A
【典例4】定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，
且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A． B．(−∞,ln2022) C． D．
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 ， 为定义在 上的减函数，
因为 为奇函数，所以 ， ， ，
，即 ， ， ，故选：C.【典例5】已知 是定义域为 的奇函数 的导函数，当 时，都有
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为 是奇函数，所以 是偶函数．设 ，
∴当 时， ，
∴ 在区间 上是增函数，∴ 在区间 是减函数，
∵ ．当 时，不等式 等价于 ，
当 时，不等式 等价于 ，
∴原不等式的解集为 ．故选：D．
【题型训练】
1.加减法模型
一、单选题
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知 是定义在R上的奇函数, 是其导函数.当x≥0时,
且 ,则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且
，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·漠河市高级中学）已知 是定义在 上的奇函数， 是函数 的导函数且在
上 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，对 恒有 ，
则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2. 和 模型
一、单选题
1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数 的导函数为 ，若
对任意的实数x，不等式 恒成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有
，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒
成立，则（ ）A． B．
C． D．
4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在 上的奇函数 的导函数为
，已知 ，当 时， ，则不等式 的解集为________．
3. 和 模型
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知 是函数 的导数，且满足 对
恒成立， ， 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成
立的为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ，
则 的解集为（ ）A． B． C． D．
6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4. （sinx）和 （cosx）模型
一、单选题
1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数 为 上的偶函数，且对于任意的
满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且对于任意的 ，都有
，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续
不间断，任意 ，有 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在 的函数 的导函数为 ，且满足
成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有
，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．（ ，π） B． C． D．
6．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意 ，不等式 恒成
立，则下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
