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专项 13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用
垂直平分线作图步骤：
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
垂直平分线的性质：
垂直平分线上的点到两边的距离相等
【典例1】（2021秋•邓州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN
于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．
（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 ；
（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明
你的结论；
（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能
的情况．【变式1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB
长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l
下方交于点E，连接AE．
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE．
【变式1-2】（2020•建湖县模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、
B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，相交于两点 M，N；②作直线MN交AC于点
D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（ ）
A．25° B．50° C．60° D．90°
【变式1-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC
相交于点 D，连接 BD，边 AC 的长为 12cm，边 BC 的长为 7cm，则△BCD 的周长为
（ ）
A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm【变式1-4】（2022春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN
交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【变式1-5】（2021秋•思南县校级月考）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交
AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．1.（2021春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在
边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．75° C．65° D．70°
2．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为
半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长
为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接
CD，若∠A＝22°，则∠BDC＝（ ）
A．52° B．55° C．56° D．60°
3．（2021•长春一模）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，
以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆
心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作
图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60° B．OF垂直平分CG
C．OG＝CG D．OC＝2FG4．（2020秋•鄞州区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、
E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是
（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
6．（2021秋•洪江市期末）如图，直线 l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l
与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．7．（2021秋•兴山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，
交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点 P的位置并求
PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
