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专项 15 等边三角形常考作辅助线法
技巧1：作平行线法
技巧2：截长补短法
【典例1】（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线
BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．
【答案】详见解答
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，
点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；
【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数
量关系？直接写出你的结论．
【答案】详见解答
【解答】证明：【问题解决】
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC，
即∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴AE＝CF；
【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【变式1-2】（天心区期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线
BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE；
（2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD；
（3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．
【答案】详见解答
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，∠EDC＝30°，
∴CD＝2CE；
（2）∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°
∵∠EDC＝30°，
∴∠FDC＝30°＝∠EDC，DC＝DC，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴CE＝CF，
∴CD＝2CE＝CE+CF；（3）当点E在线段BC上，如图2，结论：CD＝CE+CF，
理由如下：如图2，在BC上截取CG＝CD，连接GD，
∵∠DCG＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC，∠GDC＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠GDE+∠EDC＝60°＝∠EDC+∠CDF，
∴∠GDE＝∠CDF，
∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴GE＝CF，
∴CD＝CG＝CE+EG＝CE+CF；
当点E在射线BC延长线上，如图3，结论：CE＝CD+CF，
理由如下：如图3，在BC上截取CG＝CD，连接GD，
∵∠DCG＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC，∠GDC＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠GDE+∠GDF＝60°＝∠GDF+∠CDF，
∴∠GDE＝∠CDF，
∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴GE＝CF，
∴CE＝CG+EG＝CD+CF．
【典例2】（2020秋•湖南期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、
射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE＝DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．
【答案】详见解答
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD＝DB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝30°，AD＝DB，
由题意得，AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BED＝30°，
∴∠DCE＝∠BED，
∴DE＝DC．
（2）解：DE＝DC，
理由如下：作DF∥AC交BC于F，
则∠BDF＝∠A＝60°，∠DFB＝∠ACB＝60°，
∴△DBF为等边三角形，
∴DB＝DF＝BF，∠DBF＝∠DFB＝60°，
∴FC＝AD＝BE，∠DBE＝∠DFC，
在△DBE和△DFC中，，
∴△DBE≌△DFC（SAS），
∴DE＝DC；
（3）解：在BE上截取BH＝BD，连接DH，
∵∠DBH＝∠ABC＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴DH＝DB，∠BDH＝∠BHD＝60°，
∴∠DHE＝∠DBC＝120°，
∵AD＝BE，BH＝BD，AB＝BC，
∴HE＝BC，
在△DHE和△DBC中，
，
∴△DHE≌△DBC（SAS），
∴∠HDE＝∠BDC，
∵∠EDC＝90°，∠HDB＝60°，
∴∠HDE+∠BDC＝30°，
∴∠HDE＝∠BDC＝15°，
∴∠DEC＝∠DHC﹣∠HDE＝45°．
【变式2-1】（道外区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．
（1）求证：EF＝DF；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．
【答案】详见解答
【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，如图1所示：
则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DHB，
∴BD＝HD，
∵CE＝BD，
∴HD＝CE，
在△DHF和△ECF中， ，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴EF＝DF；
（2）如图2，由（1）知：BD＝HD，
∵DG⊥BC，
∴BG＝GH，
由（1）得：△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∴GH+HF＝ BH+ CH＝ BC，
∴BC＝2FG．【变式2-2】（东城区期末）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC
边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连
接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决
这个问题．
请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，
Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE
的长．
2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为 ②
（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ
交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【答案】详见解答
【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，
∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝ AF，
∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝ FC＝ （AC﹣AF），
∴DE＝DF+EF＝ （AC﹣AF）+ AF＝ AC＝1；
（2）1、补全的图形如下，过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，
∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝ AF，
∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝ FC＝ （AC+AF），
∴DE＝DF﹣EF＝ （AC+AF）﹣ AF＝ AC＝1；
2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
又∵PE⊥AC
∴EF＝ AF，
∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝ FC＝ （AF﹣AC），
∴DE＝EF﹣DF＝ （AC+CF）﹣ CF＝ AC＝1；
答案为②．
1．（2021秋•咸丰县期末）如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为
AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点
（1）求证：CD＝BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的长．【解答】（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF，
∵点P为DE中点，
∴PD＝PE，
在△PDF和△PEB中， ，
∴△PDF≌△PEB（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD＝BE；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝ AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，
∴BP＝BE，
由（1）得：CD＝BE，
∴BP＝BE＝CD，
设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，
∵AE＝2AD，
∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，
即BP的长为4．
2．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，
点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成
立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
3.（2020秋•旅顺口区期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点
D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE＝CF+CD；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的
数量关系，并说明理由．【答案】详见解答
【解答】（1）证明：在CA上截取CG＝CD，连接DG，如图1所示：
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠EDF＝60°，BC＝AC，DE＝DF，
∵CG＝CD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG＝DC＝CG，∠GDC＝60°＝∠EDF，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△DEG和△DFC中，
，
∴△DEG≌△DFC（SAS），
∴GE＝CF，
∵CE＝GE+CG，
∴CE＝CF+CD；
（2）解：CD＝CF+CE，理由如下：
在CA的延长线上截取CG＝CD，连接DG，如图2所示：同（1）得：△CDG是等边三角形，△DEG≌△DFC（SAS），
∴DG＝DC＝CG，GE＝CF，
∵CG＝GE+CE，
∴CD＝CF+CE．
4.（2020•安徽）如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝
DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG＝ AD；
（2）DF＝EF；
（3）S△DGF ＝S△ADG +S△ECF ．
【答案】详见解答
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴AG＝ AD；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG＝GH，
∴S△ADG ＝S△HDG ，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF ＝S△ECF ，
∴S△DGF ＝S△DGH +S△DHF ＝S△ADG +S△ECF ．
5．（2020秋•花雨区校级月考）我们在前面曾遇到过这样一道题目：
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）一般情况，证明结论：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F． 请你继续完成
对以上问题（1）中所填写结论的证明．
（3）变式探究：如图3，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，点E在BA的延长
线上，且BD＝AE，此时，CE和DE有何数量关系？请画出图形，作出判断，并说明理
【答案】详见解答
【解答】解：（1）∵E为等边三角形AB边的中点，
∴∠ECD＝30，
∵DE＝CE，
∴∠ECD＝∠D＝30°
∵∠DEB＝180°﹣∠D﹣∠DBE＝30°
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE，
∴AE＝BD．
（2）如图2，
∵在等边三角形ABC中，EF∥BC∴BE＝CF，
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠ECD
∵∠D+∠DEB＝60°，∠ECF+∠ECD＝60°，
∴∠ECF＝∠DEB在△CEF和△DBE中，
，
∴△CEF≌△DBE（SAS）
∴AE＝DB．
（3）如图3，过D做DF∥AC，则△BDF为等边三角形，∴BD＝BF＝DF，
∵BD＝AE，
∴AB＝BF+AF＝BD+AF＝AE+AF＝EF，
∴AC＝EF，
∵DF∥AC，
∴∠DFE＝∠EAC，
在△DEF和△ECA中，
，
∴△DEF≌△ECA（SAS），
∴CE＝DE．
6．（2020秋•河西区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，
由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度
由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于
D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变
化请说明理由．【解答】（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，
∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，
∴∠QPC＝90°，
∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），
解得x＝2，
即AP＝2．
（2）证明：如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，
∴PF＝AP＝AF，
∴PF＝BQ，
又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ＝DP即D为PQ中点，
（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，
理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，
∴ ，
又∵△DQB≌△DPF，
∴ ，∴ ．
7．（2020秋•裕华区校级期末）知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两
个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角
所对的直角边等于斜边的一半”．
如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发
沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动
过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．
（1）请直接写出AD长．（用x的代数式表示）
（2）当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？
（3）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
【解答】解：（1）由题意得，CD＝0.5x，
则AD＝4﹣0.5x；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE＝90°，BE＝0.5x，AD＝4﹣0.5x，AE＝4+0.5x，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD，
∴4+0.5x＝2（4﹣0.5x），
∴x＝ ；
答：运动 秒后，△ADE为直角三角形；
（3）如图2，作DG∥AB交BC于点G，
∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，
∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，∴△CDG是等边三角形，
∴DG＝DC，
∵DC＝BE，
∴DG＝BE．
在△DGP和△EBP中，
，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP＝PE，
∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
8．（2021秋•营口期末）已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．
（1）求点B的横坐标；
（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以 MN为边在x轴上方作等边
△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
【解答】解：（1）如图，过B作BD⊥OA于点D，∵△AOB为等边三角形，点A（﹣10，0），
∴OA＝OB＝AB＝10，∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵BD⊥OA，
∴AD＝OD＝ OA＝ ×10＝5，
∴点B的横坐标为﹣5；
（2）如图2，过点M作MF∥AB交OA于点F，
∵MF∥AB，
∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴△MOF为等边三角形，
∴∠FMO＝60°，MF＝MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME＝60°，MN＝ME，
∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°，
∴∠FMN＝∠OME，
在△MFN和△MOE中，，
∴△MFN≌△MOE（SAS），
∴∠MFN＝∠MOE＝60°，
∵∠EMO＝45°，
∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO
＝180°﹣60°﹣45°
＝75°．
