文档内容
专题 01 勾股定理及勾股定理逆定理
目录
A题型建模・专项突破
题型一、勾股数的判断...................................................................................................................................1
题型二、求几何图形面积...............................................................................................................................3
题型三、判断能否构成直角三角形...............................................................................................................5
题型四、用勾股定理解三角形.......................................................................................................................8
题型五、勾股定理与网格问题.....................................................................................................................11
题型六、勾股定理的证明方法.....................................................................................................................13
题型七、勾股定理的应用.............................................................................................................................18
题型八、利用勾股定理的逆定理求解.........................................................................................................21
B综合攻坚・能力跃升
题型一、勾股数的判断
1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的
数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）．
A．1，1，2 B． ， ，
C．3，4，5 D．3，4，6
4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（
）
A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34
题型二、求几何图形面积
5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形
中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（ ）A．5 B．25 C．7 D．14
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图， 中， ；分别以这个三角形的三边为边长
作正方形，面积分别记为 、 、 ，若 ，则阴影部分面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
7．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作
正方形，面积分别记 ， ， ．若 ， ．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
8．（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学
史上被称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．48
题型三、判断能否构成直角三角形
9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在 中， 的对边分别是 ．下列条件中，不能
判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． ， ， D．
10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在 中，下列条件中，不能判断 是直角三角形的
是（ ）A． ， ， B．
C． D．
11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在 中， ， ， ．下列条件中：①
，② ，③ ，④ ，⑤ ．能确
定 是直角三角形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
题型四、用勾股定理解三角形
13．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在 中， ， ，垂足为D．如果
， ，则 的长为 ．
14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖
直方向的 两段构成，若 段长度为 ，点A，C之间的距离比 段长 ，则 段的长度为
．
15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
、 分别是 、 上的动点，连接 、 ，若 ， ，则 的最小值为 ．
16．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在 中， ， ， ， ，求：
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 ．题型五、勾股定理与网格问题
17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在 正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，
的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．只有两条边长为无理数 D． 边上的高为
18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ，
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
19．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形
的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)求线段 和 的长．
(2) 是直角吗？请说明理由．
20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点 ， ， 在边长为 的正方形组成的网格格点上，解答
下列问题：(1)线段 的长为______，线段 的长为______；
(2)连接 ，判断 的形状，并证明你的结论．
题型六、勾股定理的证明方法
21．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史
上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直
角边长分别为a，b（ ），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求 的值．
22．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都
为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
【问题拓展】
（3） 中， ，垂足为 ，请求出 的值．
23．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们
对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在
1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形 和 如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
， ．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD， ．四边形AECD的面积：
______， ______， ______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定
理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)， ，
，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水
点P到两个菜园C，D的距离和最短．
(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
题型七、勾股定理的应用
24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内
有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略
不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当
滑块A向下滑13厘米至点 处时，滑块B滑动到点 的位置，则 的长为多少厘米？25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼
梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的
过程中没有损耗）
26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段
时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在直线l
上， ．
(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
27．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度
的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得 的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段 )的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离(线段 的长)为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度(线段 的长)；
(2)如果小望想使风筝沿 下降12米到 处，求他应该往回收线多少米？题型八、利用勾股定理的逆定理求解
28．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在
上有一处古建筑，使得 的长不能直接测出，于是工作人员在 上取一点 ，测得 米，
米后，又测得 米， 米．
(1)求证： ．
(2)求 的长．
29．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机 ，
，且 ， 均位于地下管道 的同侧，售卖机 ， 之间的距离为500米，管道分叉口 与 之间的
距离为300米， 于点 ， 到 的距离为240米，假设所有管道的材质相同．
(1)求 ， 之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机 引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
30．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学
变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．
小组测量方案示意图及测量数据如表所示：
项目主题 为校园空地设计创意花坛
项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具 卷尺、铅笔等．
如图，四边形 是校园里的一块空
地，线段 是将该空地分割成两块区
设计说明 域的栅栏（宽度忽略不计），其中
区域内种植矮牵牛， 种植
三色堇．测量数据 ， ， ， ．
项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．
请你完成项目任务．
31．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图， ，在 上选取两点
E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作 的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了 ．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案
所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
一、单选题
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．1，1，
C．9，12，15 D．5，7，12
2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时， 不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D． ，
3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若 ，则 ( )
A．184 B．86 C．119 D．81
4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板
宽度 为 ，支架脚 的长度为 ，当 且 平分 时，则点 到 的距离是
( )
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为 ， ，则这个三角形的
第三条边长为（ ）
A． B． C． D． 或
二、填空题
6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在 中， ，则 的度数为 ．
7．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜
边 ，则图中阴影部分的面积为 ．
8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行， 的三个顶点分别在三条
平行线上，已知 ， ，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则 的面积
为 ．9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点 是 的中点，则 的长为 ．
10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 是长方
形，点A，C的坐标分别为 ， ，点D是 的中点，点P在 上运动，当 是腰长为
5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， ， 于点 ，
， ， ．求 的长．
12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、
．
(1)已知 ， ，求 的度数和 、 的值；
(2)已知 ， ，求 的度数和 、 的值．
13．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ．(1)求 的长；
(2)求四边形 的面积．
14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在 中， ， ， ，点D是
上一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 时，求 的长度；
(2)当 为等腰三角形时，t的值为________；
(3)过点D作 于点E，当P在点C的左侧运动时，要使 ， _______．
15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思
想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因
为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与 （图1）全等的三角形，其中 ， ， ， ，把它们拼成边长为
的正方形 ，其中四边形 是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点
A作直线l垂直于 ，在l上取点B，使 ，以点D为圆心， 为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧
的交点C表示的数是________；
②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，
将它往前推至C处时，水平距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索
的长．
