专题01有理数及其运算重难点题型（人教版）（原卷版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_5专项练习_专题（第1套）07份

专题01 有理数及其运算 重难点题型 题型1 正负数意义及应用 【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解. 1．（2021·南靖县城关中学七年级月考）向东运动记作“+”，向西运动记作“—”，下列说法正确的是（ ） A．－2表示向东运动了2米 B．＋2表示向西运动了2米 C．向西运动3米表示向东运动了－3米 D．向西运动5米也可以记作向西运动－5米 2．（2021·云南昆明市·九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5 亿元，较上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%．若 下降6.3%，记作 ，则增长59.7%应记作（ ） A． B． C． D． 3．（2020·北京初三一模）举出一个数字“ ”表示正负之间分界点的实际例子，如__________． 3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山 峰，每登高 气温的变化量为 ，攀登 后，气温下降__________ ． 4．（2021·四川成都·七年级期末）大米包装袋上有 的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·辽宁沈阳市·七年级期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表 中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 6．（2022·渠县七年级月考）一次体育课，老师对七年级男生进行了100米赛跑的测试，以跑13秒为标准， 超过标准时间用正数表示，不足标准时间用负数表示，第一小组8人的成绩如下：+0.2，－0.3，-0.4，0， 0.1，－0.1，－0.5，1． （1）这8名同学实际各跑了多长时间？ （2）这个小组的达标率是多少？ 题型2 有理数的相关概念 【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、 0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开 原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝 对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 1．（2021射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ） A．正数和负数统称为有理数 B．正整数包括自然数和零 C．零是最小的整数 D．非负数包括零和正数 2．（2021·河南省初一期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就 是正数；④ 不仅是有理数，而且是分数；⑤ 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不 都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3.（2021•赵县期中）下列说法中，不正确的是（ ） 符号不同的两个数互为相反数； 所有有理数都能用数轴上的点表示 ①绝对值等于它本身的数是正数；②两数相加和一定大于任何一个加数 ③有理数可分为正数和负数 ④ ⑤A． B． C． D． 4.（①202②1•③嵊州⑤市期中）下列说③法④正确的个数为（ ①）③④⑤ ①④⑤（1）0是绝对值最小的有理数；（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；（3）0除以任何数都等于0； （4）数轴上原点两侧的数互为相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数； （6）一对相反数的平方也互为相反数 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5.（2021•日照期中）下列说法正确的是（ ） 任何一个有理数的平方都是正数 任何一个有理数的绝对值都是非负数 ①如果一个有理数的倒数等于它本身，那么②这个数是1 ③如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0． ④A． B． C． D． ①④ ②③ ③④ ②④ 6．（2021·山西省初一月考）数学活动课上，王老师把分别写有 ，5，-2，0， 的五张卡片分别发给 五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目． （1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同 学；（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？ 题型3 数集问题 性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复 解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚 至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。 1．（2021·宁夏银川市·七年级期末）在0，3，－2，－3.6这四个数中，是负整数的为___． 2．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1， ，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0， ，3.14，其中有理数有_____个． 3.（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里： 1， ， ，0.5， ， ， ，0，2014，20%，正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： 有理数集合： 4.（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中： 2 21 ①﹣0. ⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤− ；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨ ． 3 7 3 （1）整数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}；（4）分数集合：{ …}； （5）非负整数集合：{ …}． 5.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内． 1 1 5， ，﹣3，−3 ，0，2010，﹣35，6.2，﹣1． 4 2 正数集合{ …}；负数集合{ …}； 自然数集合{ …}；整数集合{ …}； 分数集合{ …}；负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}； 3 6.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，1 ，﹣12，5分类． 4 题型4 利用数轴求两点间距离 注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个 解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左 边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后 根据画出的数轴，读出两点之间的距离。 1．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点 ， 在原点 的两侧，分别表示数 ，2，将点 向右平移3个单位长度得到点 ．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，如果数轴上 ， 两点之间的距离是 ，且点 在原点左侧， 那么点 表示的数是（ ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江台州市·七年级期中）已知，点A，B，C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且 ，点C在点B的左侧，则点C在数轴对应的数为_______． 4．（2021·湖南怀化市·中考真题）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·浙江杭州市·七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为 6，则M、N之间的距离为________． 6．（2021·江苏初一课时练习）如图，将一刻度尺放在数轴上. ①若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数 是 2； ②若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数 是 3； ③若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为-2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数 是-1； ④若刻度尺上 0cm 和 4 cm 对应数轴上的点表示的数分别为-1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的 数是-0.5. 上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 题型5 有理数的大小比较 解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数 比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上， 从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。 1．（2021·吉林白城市·七年级期末）比较大小： ________ ． 2．（2021·山东临沂市·九年级二模）在0，1， ，-1四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．1 C． D．-1 3．（2020·山东省中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最 大的是（ ） A．a B．b C．c D．无法确定 4．（2021·江苏常州市·七年级月考）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排 列正确的一组是（ ） A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 5.（2021·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按 照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江·七年级期末） 表示 ， 两数中的最小者， 表示 ， 两数中的较大者，如 ， ，则 是（ ） A． B． C． D． 题型6 相反数的性质与求法 性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。 b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。 c.一组相反数的和为0。 解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面 添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质 c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。 1．（2021·河北保定市·九年级一模）计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（ ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 2．（2022·贵州毕节·七年级期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3. （2021·河南安阳市·七年级期中） 的相反数（ ） A． B． C． D． 4.（2021·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且 ， ，则b与c的关系是（ ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定 5．（2021·山东七年级月考）若 与 互为相反数，则 的值为________________． 6．（2022·河北保定·七年级期末）若 与-3互为相反数，则m的值为______________． 题型7 由数求绝对值与由绝对值求数|a| 1)由数求绝对值： 一定为非负数，即 2)由绝对值求数 a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。 b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解） 1．（2022·四川成都市·成都七中七年级期中）若|5﹣x|＝1，则x＝_____． 3．（2022·合肥市七年级月考）已知 ，且 ，则x=_______，y=_________． 4．（2022·全国初一课时练习）小麦做这样一道题“计算 ”、其中“□”是被墨水污染看不清的一个数， 他翻开后面的答案，得知该题计算结果是8，那么”□”表示的数是( ) A．5 B．-5 C．11 D．-5或11 5．（2022·湖北襄阳·七年级期末）已知|a|＝8，|a|>a，则a等于_________． 6.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程： ． 解：当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 所以原方程的解是 或 ． (1)利用上述方法解方程： ． (2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两个解． 题型8 绝对值非负性的应用 性质： ，即非负性，注：a为任意实数 解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0． 1.（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若 与 互为相反数，则 的值为（ ）A．1 B．-1 C．5 D．-5 2.（2022·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________． 1 3.（2022•达孜区期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则 （x+y）的值为 ． 2 4.（2021•江岸区校级月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值． 5．（2021·广东茂名市·七年级期末）若 ，则 的值为______． 6．（2022·河北唐山·七年级期末）已知 ，则 的值为（） A．2019 B． C． D．1 题型9 有理数加减法乘除再认识 解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算 规律逐一判别即可。 a b 1．（2021·四川射洪县七年级月考）如果 、 是有理数，则下列各式子成立的是（ ） a0 b0 ab0 a 0 b0 ab0 A．如果 ， ，那么 B．如果 ， ，那么 a  b C．如果 a 0 ，b0，那么 ab0 D．如果a0， b0 ，且 ，那么 ab0 a b 2．（2022·长沙市开福区七年级月考）在数轴上有 、 两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是 （ ） a 0 A．ab0 B．ab0 C．ab0 D．b 3．（2021·北京二中七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） b  a 0 ab0 ab0 ba0 A． B． C． D． a,b 4．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） ab0 ab0 b10 ab0 A． B． C． D． m 2 n 5 mn nm mn 5．（2022·广东省初一期中）已知 , ,且 ,则 的值是（ ） A．7 B．3 C．―3或－7 D．3或7 6．（2021·河西区·天津实验中学七年级期末）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B， bd 5 ac C，D，若 ，则 （ ） A．大于5 B．小于5 C．等于5 D．不能确定 题型10 有理数加、减法运算的实际应用 解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的 记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。 （4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出 结论。 1．（2021·北京九年级一模）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹 （小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘微的这种表示法，图①表示算式 110 ，则图②表示算式__________． (3.5)(2.5) 2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则 表示（ ） A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨 C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨 D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨 3．（2021·贵州铜仁市·九年级月考）两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、…逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5， 8，13，21，…（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共 有_____种上法． 4．（2021·江苏镇江市·七年级期末）我市某日的最高温度是7℃，最低温度是﹣1℃，则当天的最高温度比 最低温度高_____℃． 5．（2022·河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早 晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，-9， 8，-7，13，-6，12，-5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ 0.5 28 （2）若冲锋舟每千米耗油 升，邮箱容量为 升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 6．（2021·成都市棕北中学七年级期中）在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方 向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单 位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10． （1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？ 题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用 解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较 结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数 的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋 值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。 1．（2021·山西临汾·七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．天干地支 纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年． 2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．（用天干地支纪年法 表示） 天 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 干 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 支 1 1 4 5 6 7 8 9 11 1 2 3 0 2 2.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200 元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元， 其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和 384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元． 3．（2022四川成都市·麓山师大一中七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24 点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算 （每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数， 黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅 6(134)24 花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为 ，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃 5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_______． 4.（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离 终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”． （1）求小王和小李的速度． （2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李． （3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原 速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？ 5．（2021·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下： A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠； B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． （1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？ 6．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫 升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20 分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到 结束所需的时间． 题型12 新定义运算 解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有 理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。 x 5.81.5 x 1．（2022·北京十二中初一期中）设 表示不超过 的最大整数，计算 _______. 2．（2021·湖北省初一期中）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际 数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是 （ ） A．6 B．12 C．18 D．24 1 1 aba(  ) 3．（2021·沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数a、b，有 a b ，如1 1 1 343(  ) (2)5 3 4 4 ，那么 的值是（ ） 3 3 7 7 -  A． 5 B．5 C． 5 D．5 4．（2022·广西百色市·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想： 对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都 能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上 还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 5311628242221 m m ，如果正整数 最少经过6步运算可得到1，则 的值为 （ ） A．10 B．32 C．64 D．10或64 n! 123 n 123 1995   5．（2020·四川省内江市第六中学七年级期中）用 表示 ，例1995！= ，那么1!2!3!  2020!的个位数字是_____________． 32 543 6543    6．（2022·浙江金华市·七年级开学考试）已知：C2 12 =3，C3 123 =10，C4 1234 3 5 6 C3 =15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算： 4 =___． 7．（2022·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数， 小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则 这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如 2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于 类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加 起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 题型13 有理数的简算 解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运 算的目的。（2）利用乘方的运算性质 ，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑 整后部分的乘方运算。 1．（2022·湖南广益实验中学）计算：0.252019×42020＝_____． (0.25)2007(4)2008 2．（2021·江苏苏州市·七年级月考）计算 等于（ ）． A．1 B．1 C．4 D．4 3．（2022·江苏无锡市·七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． 5  2 3  1 5  9 17  3     （1）计算： 6  3 4  2 （解析）   5   2  3   1 5   9   17  3             原式=   6   3  4   2  5  2 3  1 59173               =  6  3 4  2  1 0 1   =  4 1 1 = 4 ， 上面这种解题方法叫做拆项法．  5  2 2  1 2000  1999 4000  1       （2）计算： 6  3 3  24．（2022·安岳县石羊镇初级中学七年级月考）计算题 （1）5＋（－6）＋（＋3）＋（－4） （2）－3－4+19－10 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 0.253.754.5 （3）－2.4＋ 3＋（－ 6 ）＋（－1.6） （4） 2 4 4 2 1  1  1  2 2.75   （5）|－3 | +（－5）－|－4| + 3 + |－（+5）| （6）5 2  4 5．（2022·浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算： ． （2）认真阅读材料，解决问题： 计算： ． 分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ．故原式 ． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 6．（2022·全国七年级专题练习）计算： （1） ； （2） ． 7．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程： 1 131 4 22 1 241 9 32 1    1    13 13 13 13 24 24 24 24 1 351 16 42 1 461 25 52 1    1    35 35 35 35 46 46 46 46 …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： 1 1 1  1  57 ______________． 68 ____________． 1 1  2n(2n2) _________________．（n为正整数） （2）根据规律计算： 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )  13 24 35 46 98100 99101 ．题型14 乘方的应用 解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几 乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解 这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化 规律，分析出最终结果。 （2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分 析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 70 1 71 7 72 49 73 343 74 2401 1．（2021·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式： ， ， ， ， ， 75 16807 70 7172  72021  ，…，根据其中的规律可得 的结果的个位数字是__________． 2．（2021·甘肃白银市·七年级期末）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝ 128，28＝256，…用你所发现的规律得出22020的末位数字是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2021·四川省内江市第六中学七年级开学考试）定义一种关于整数 n 的“F ”运算： n 3n5 （1）当 是奇数时，结果为 ； n n （2）当n是偶数时，结果是2k （其中k是使2k 是奇数的正整数），并且运算重复进行． n58 F F F F 例如：取 ，第一次经 运算是29，第二次经 运算是92，第三次经 运算是23，第四次经 运 算是74；若n9，则第2017次运算结果是（ ） A．1 B．2 C．7 D．8 4．（2021·西安同仁中学初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统， 图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为 a b c d a23b22 c21d20 ， ， ， ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 .如图2第一023122 021120 5 行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班学生.表示 6班学生的识别图案是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·湖北黄石市·七年级月考）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转 化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如： 19 1621124 023 022 121110011 (10) (2)为二进制下的五位数．则十进制数1027 是二进制下的（ ）． A．九位数 B．十位数 C．十一位数 D．十二位数 6．（2022·湖北随州市·八年级期末）观察下列各式: 1+2=22-1 1+2+22=23-1, 1+2+22+23=24-1, ... (1)请直接写出1+2+22+23+24= 1+2+22+23+24+25=_ ; (2)根据(①)的规律,猜想1+2 +22 +...+2n=_ ， 并给出证明； (3)设250=a,根据(2)中的结论，化简250+ 251+ 252+...+ 299+ 2100(用含a的式子表示). 题型15 新定义运算（乘方）【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规 的有理数混合运算算式进行计算. 1．（2021·江苏省初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分 解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ） ①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9． ③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 a, b (a, b) ac b 2．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ， (a, b)c 23 8 (2，8)3 那么 ．例如：因为 ， 所以 ． (5,125) (2，4) (2，8) （1）根据上述规定，填空： __________， __________ ， =__________； (3n,4n)(3,4) （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ，小明给出了如下的证明： (3n,4n) x (3n)x 4n (3x)n 4n 3x 4 (3,4) x (3n,4n)(3,4) 设 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ， (3,4)(3,5)(3,20) 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： 3．（2021·全国七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作： logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 4＝2； 2 ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 16＝2. 4（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64； （2）将下列对数式改为指数式：①log 25＝2；②log 27＝3； 5 3 （3）计算：log 32 2 4．（2022·银川市第三中学初一期中）阅读理解与计算：  a,b abb2 1 7442 117 （1）用“ ”定义新运算：对于任意有理数 ，都有 ．例如： ．则① 53 m mm2 m,n 填空： ； ②当 为有理数时，求 的值； （2）已知 互为相反 x,y a 1 a2 mn2012 xy2012 数， 互为倒数， ，试求 的值．  a b 5．（2021·张家口市宣化区教学研究中心七年级期末）现定义某种运算“ ”，对任意两个有理数 、 ， 有abab，如 3232 9 ，计算： 123 ______． 6．（2022·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方， 555 (8)(8)(8)(8) 555 如： ， 等，类比有理数的乘方，我们把 记作5③，读作“5的圈 aaa a  3次方”， (8)(8)(8)(8)记作（－8）④，读作“ 的圈4次方”一般的把 8 n个a 记作aⓝ，读作“ a 的圈 n 次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________； [类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：1 1 （2）（7 ）ⓝ_________；（a ）ⓝ=____________．（n�2且n为正整数）； 1 1 [实践应用]（3）计算①（－4 ）④×（－4）⑤－（3）④÷63 1 1 1 1 1 ②（5）②+（5）③+（5）④+（5）⑤+……+（5）ⓝ（其中n2021） 题型16 科学记数法与近似数 【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要 看 把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． （2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的 有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字 等说法． 6.81109 1．（2021·广州大学附属中学九年级二模）整数68100…0用科学记数法表示为 ，则原数中“0” 的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．10个 2．（2021·浙江杭州市·九年级二模）今年“五一”小长假期间，杭州市各景区景点共接待市民游客大约 9210000人次，与去年同期相比增长85%．数据9210000用科学记数法表示为（ ） A．92.1×105 B．921×104 C．9.21×106 D．9.21×107 3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于水稻研究，在2004 年获颁世界粮食奖，被视为“亚洲英雄”，上世纪70年代，袁隆平在杂交水稻上取得突破，当时他研究出 的杂交水稻相比其它品种年产量提高了20%，意味着每年可多养活7000万人口．7000万人用科学计数法 表示为_________人．4．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆 虐，截止2021年3月底，海外累计确诊128924229人，128924229用科学记数法可表示为（精确到千万 位）（ ） 0.13109 1.3108 1.29108 12. 9 107 A． B． C． D． 115 5．（2021·江西省大吉山中学初一期中）当使用计算器的 键，将 6 的结果切换成小数格式 19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（ ） A．它不是准确值 B．它是一个估算结果 C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数 6．（2021·广西壮族自治区初一期中）用四舍五入法按要求对0．0603分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1 （精确到0.1） B．0.060（精确到0.001） C．0.06（精确到百分位） D．0.06 （精确到十分位）