文档内容
专题01模型方法课之倍长中线法重点练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（
）
A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
2．如图，在 中， 为 的中点，若 ．则 的长不可能是（
）
A．5 B．7 C．8 D．9
3．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点
是 的中点，则 的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
二、填空题
4．如图，在 中， 是 边上的中线， ， ， ，则
1_______．
5．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分
∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF
＝__．
三、解答题
6．在 ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连
接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF
之间的数量关系，并证明．
7．如图，已知AD是 的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C
到AD的距离．
28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
（1）如果， ，求证：△ABC是直角三角形．
（2）如果， ， ， ，求BC的长．
9．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求
证：AD⊥AC
10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
（探究与发现）
（1）如图1，AD是 的中线，延长AD至点E，使 ，连接BE，证明：
．
（理解与应用）
（2）如图2，EP是 的中线，若 ， ，设 ，则x的取值范围是
________．
（3）如图3，AD是 的中线，E、F分别在AB、AC上，且 ，求证：
．
11．阅读下面材料：
3数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝
BF．
经过讨论，同学们得到以下思路：
如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证
得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应
的图形，并写出证明过程）．
12．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1， 是 的中线， 求 的取值范围．我们可以延长
到点 ，使 ，连接 ，易证 ，所以 ．接下
来，在 中利用三角形的三边关系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取
值范围是 ；
4（2）如图2， 是 的中线，点 在边 上， 交 于点 且 ，
求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接 ， 且
，试猜想线段 之间满足的数量关系，并予以证明．
13．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，
观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三
角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等
腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
5（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
14．如图， 中， ， ， 为中线，求中线 的取值范围．
15．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．
求证： ．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至 ，使 ，
∵ 是 边上的中线∴
在 和 中
6∴ （依据一）∴
在 中， （依据二）
∴ ．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将
， ， 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．
“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 和 为边作等腰直角三角形，在
中， ， ； 中， ， ．连接
．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
16．已知，在 中， ，点 为边 的中点， 分别交 ，
于点 ， ．
（1）如图1，①若 ，请直接写出 ______；
②连接 ，若 ，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明
理由．
717．在 与 中， ， ， ，连
接 ，点 为 的中点，连接 ， 绕着点 旋转．
（1）如图1，当点 落在 的延长线上时， 与 的数量关系是：__________；
（2）如图2，当 旋转到点 落在 的延长线上时， 与 是否仍有具有
（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当 时，直接写出 的值．
18．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．
19．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE
＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．
（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2
，求BF的长．
（2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ ED．
820．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ， ，点D为BC边的中点，求BC边上的中线
AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 ，再连接BE，可证
，从而把AB、AC， 集中在 中，利用三角形三边的关系即
可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中
线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是BC的中点， 于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，判断 与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中， ，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中
点，若AE是 的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以
证明．
921．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交
CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是 ．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，
若不成立，说明理由．
1011
