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专题 02 二次根式的运算
目录
A 题型建模 ・ 专项突破
题型一、同类二次根式 .........................................................................................................................................1
题型二、同类二次根式 .........................................................................................................................................3
题型三、二次根式的混合运算 ...............................................................................................................................4
题型四、二次根式中的分母有理化 ..................................................................................................................................7
题型五、二次根式运算中的新定义型问题 .......................................................................................................11
题型六、二次根式运算中的规律探究问题 .......................................................................................................14
B 综合攻坚 ・ 能力跃升
题型一、同类二次根式
1 ．（25-26 九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．（25-26 八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
3 ．（25-26 八年级上·四川达州·月考）下列式子：① , ② , ③ , ④ , ⑤ ,
⑥
, 其中最简二次根式有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
4 ．（25-26 八年级上·全国·课后作业）若二次根式 是最简二次根式，则 m 可取的最小整数为
( )
A ．1 B ．0 C ． D ．
题型二、同类二次根式
5 ．（25-26 八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与 是同类二次根式的是 ()
A ． B ． C ． D ．
6 ．（25-26 九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与 是同类二次根式的是 ( )
1 / 91 / 9A ． B ． C ． D ．
7 ．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
8 ．（25-26 八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式 与 能合并，则 的值是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
题型三、二次根式的混合运算
9 ．（25-26 八年级上·全国·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
10 ．（25-26 八年级上·全国·期末）计算
(1) ；
(2)
11 ．（25-26 八年级上·上海·月考）计算：
(1) ；
(2)
12 ．（25-26 八年级上·山东青岛·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
题型四、二次根式中的分母有理化
13. [核心素养]阅读下面的解答过程：
;
2 / 92 / 9;
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
14. 阅读材料：在解决问题“若 ，求 的值”时，小俊是这样分析与解答
的： ∵ , ∴ , ∴ , ∴
. ∴ .
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
15. 阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式
相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算
时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
16. 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 、 一样
的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
( Ⅰ )
( Ⅱ )
3 / 93 / 9(Ⅲ)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
(Ⅳ)
(1)请用不同的方法化简
①参照 (Ⅲ) 式得 ；
②参照 (Ⅳ) 式得 ；
(2)化简：
题型五、二次根式运算中的新定义型问题
17.定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二次根
式．
(1)若 与 是关于 6 的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
18.对于任意的正数 ， 定义运算 为： .
(1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.
19.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三
角形的三边长分别是 2 ，4 和 ，因为 ，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 的三边长分别是 2 ， 和 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由．
(2)若 Rt 是奇异三角形，直角边的长为 a ，b（ ），斜边长为 c ，写出a 和b 的等量关系式．
20 ．（23-24 八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记
， , 其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如；
的一对“对称数对”为 和 ．
4 / 94 / 9(1)有序数对 的一对“对称数对”是______;
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y 的值为______;
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则 x 的值为______;
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．
题型六、二次根式运算中的规律探究问题
21.先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用 n 的式子表示的等式：
(3)计算：
22.观察下列各个等式：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第 n 个等式： ，并证明这个等式的正确性．
23.观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
5 / 9验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
24.观察下列各式并解答问题：
;
; ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n 的等式表示，n 为正整数）．
一、单选题
1 ．（25-26 八年级上·重庆·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
4 ．（25-26 八年级上·重庆·月考）估计 的值应在 ( )
A ．4 与 5 之间 B ．5 与 6 之间 C ．6 与 7 之间 D ．7 与 8 之间
5 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数 ，定义运算为： ，
计算
的结果是 ( )
6 / 9A ． B ． C ． D ．
6 / 9二、填空题
6 ．（25-26 八年级上·湖南郴州·期中）化简 的结果是 ．
7．（25-26 八年级上·河南平顶山·期中）二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的m 的值：
.
8 ．（25-26 九年级上·四川泸州·月考）计算： ．
9．（25-26 八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a 的值为
.
10 ．（25-26 八年级上·江苏南通·月考）已知 ，则 的值为
.
三、解答题
11 ．（25-26 八年级上·上海黄浦·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
12 ．（25-26 八年级上·上海·月考）计算
(1)
(2)
13 ．（25-26 八年级上·全国·单元测试）已知 ．求下列各式的值：
(1)
； (2) ．
14 ．（2025 八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经
验，类比探究了二次根式的运算规律，
特例 ；
特例 ；
(1)特例 3 ： ________（填写一个符合上述运算特征的式子）；
7 / 97 / 9(2)求证： （ ，且 n 为整数）；
(3)如果 的小数部分是 0.1 ，那么整数部分为_____．
15 ．（25-26 九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程：
;
;
.试求：
(1) 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ，求 的值．
16 ．（23-24 八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究
下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例 1 ： ，
特例 2 ： ，
特例 3 ： ，
特例 4 ：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简： ______；
8 / 98 / 9②若 （a ，b 均为正整数），则 的值为______．
9 / 9
