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阶段性复习压轴专题满分攻略
专题 02 勾股定理综合各市好题必刷
一．选择题
1．（2022春•临沭县期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中
能构成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．6，7，8 D．2，3，4
2．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙
AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置
上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
3．（2022春•颍州区期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为
1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋•宽城县期末）如图，长为 8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端
A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．（2022春•岑溪市期中）如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两
树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行
（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
6．（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A、B、C、D的边长分别
是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
7．（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直
径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 AC＝4，
BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
8．（2022春•通海县期末）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正
π π
方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为
64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（2021秋•天元区期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：
今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目
大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD
的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的
长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
11．（2022•包头自主招生）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、
b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
12．（2022秋•莲湖区校级月考）如图，在一个高为 5m，长为13m的楼梯表面
铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）A．13m B．17m C．18m D．25m
13．（2022•叙永县模拟）如图，“赵爽弦图”由 4个全等的直角三角形所围成，
在Rt△ABC 中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为
48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90
14．（2022春•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），
B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的
横坐标介于（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
15．（2021秋•汝阳县期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业
题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你
帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格
点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）A． B． C． D．
16．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 3，
高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长 10cm的直吸管露在罐外部分 a
的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
17．（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证
明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．18．（2022•温州模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．
1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的
三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在 Rt△ABC中，∠BAC
＝90°，AC＝a，AB＝b（a＜b）．如图所示作矩形HFPQ，延长CB交HF于
点G．若正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022 春•同安区期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳
人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一
架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，
秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，
试问绳索有多长？”．绳索长为（ ）
A．12.5尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
20．（2022春•宁津县期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图
1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股
定理，将图 1 按图 2 所示“嵌入”长方形 LMJK，则该长方形的面积为（
）A．60 B．100 C．110 D．121
二．填空题
21．（2022春•丰都县期中）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面
积分别为S ，S ，S ，且S ＝4，S ＝8，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
22.（2022 春•定南县期末）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算
经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形
ABCD的面积是 ．23．（2022春•河北区期末）若一直角三角形两直角边长分别为 6和8，则斜边
长为 ．
24．（2022秋•榕城区期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折
断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 m．
25．（2022•黔东南州模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问
题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．
问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代
汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池
正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，
它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
26．（2022•沈北新区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分
别以点A、点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，
作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 ．
27．（2022春•合阳县期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC
＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为．
28．（2022春•滨州期中）如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝
3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于 ．
29．（2022春•上杭县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，
点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝
．
30．（2022春•济阳区月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝
4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，
则EB′＝ ．31．（2022秋•芗城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，
D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角
三角形时，则AD的长为 ．
32．（2022春•咸宁校级期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
32．（2022秋•迎泽区校级月考）一长方体容器（如图 1），长、宽均为2，高
为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方
体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 CD＝
．
33．（2022 春•沾化区期中）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为
2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周
长最小为 ．34．（2022春•兖州区期末）如图，某自动感应门的正上方 A处装着一个感应
器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，
此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5
米，则这名学生身高CD为 米．
35．（2022•东城区校级模拟）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形
围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF的长为 ．
36．（2022秋•铁岭月考）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts
当t＝ 时，△ABP为直角三角形．
37．（2021秋•峨边县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC
的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图
中阴影部分的面积S ＝6.5，S ＝3.5，S ＝5.5，则S ＝ ．
1 2 3 4三．解答题（共16小题）
38．（2021秋•锡山区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
39．（2022 春•启东市期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A
（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．
40．（2022春•黄州区校级期中）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行
10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414，
≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
41．（2022春•荣县校级月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，
小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，
观测点设在到公路 l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东
匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝
60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时 80千米的限制速度？（参
考数据： ＝1.41， ＝1.73）42．（2021秋•昆明期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围
上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿
东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点
A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心
为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受
到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CE＝CF＝
250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
43．（2022秋•诏安县期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D
为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，
现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站
E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？44．（2021 秋•玉门市期末）如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝
90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝
12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
45．（2022秋•滕州市校级月考）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的
数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公
式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为 S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S
1 2 3 1 2 3
之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以
它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．
46．（2022秋•东台市月考）如图，已知 BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD
＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
47．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点
D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．48．（2022春•张湾区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC
＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向
运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为
每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
49．（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为
5m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13m，此人以
0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少 m？
（假设绳子是直的，结果保留根号）50．（2022春•宁江区校级期末）一架方梯长 25米，如图，斜靠在一面墙上，
梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
51．（2022 春•内黄县校级月考）问题情境：在综合与实践课上，同学们以
“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到
借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方
形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造
正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF分别经过点C，
A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，
AC＝ ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝ ，BC＝2 ，AC＝5 ，请你根据小颖的思
路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
52．（2022 春•思明区校级期中）定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成
AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称
点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，
BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，
AM＝6，求BN的长．
53．（2022春•利州区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝
AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P
从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设
点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
