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专题 04 有理数章节压轴题专项训练
1．如果 ， ，那么 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．有一列数 ，将这列数中的每个数求其相反数得到 ，再分别求与1的和的倒
数，得到 ，设为 ，称这为一次操作，第二次操作是将 再进行
上述操作，得到 ；第三次将 重复上述操作，得到 ……以此
类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
① ， ， ， ② ③ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图， ， ， ， 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且
，数 对应的点到点 ， 的距离相等，数 对应的点到点 ， 的距离相等，
若 ，则原点是 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4．对于正数 ，规定 ，例如 ，则
的结果
是（ ）
A． B．4 C． D．4
5．观察等式： ； ； ； ，已知按一定规律排列的一组数： ， ， ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
6．如果四个互不相同的正整数 满足 ，则
的最大值为（ ）
A．40 B．53 C．60 D．70
7．现在有三个仓库 、 、 ，分别存有 吨、 吨、 吨某原材料；要将这种原材料运往三个
加工厂 、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料．从每个仓库运送 吨材料到每个加工厂的成
本如下表所示（单位：元 吨）：
（ ）
（
）
（
）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运 吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
8．已知： ，且 ， 则 共有 个不同的值，若在这些不
同的 值中，最大的值为 ，则 ．
9．怎样简便怎样算(1) ；
(2)
(3)
(4)
10．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现
了很多重要的规律，例如；数轴上点 、点 表示的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离
，线段 的中点表示的数为 ．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的
数为3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运动，若存在某个
位置，使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在
“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
11．已知 为数轴上三点，当点 到点 的距离是点 到点 的距离3倍时，则称点 是的三倍点，不是 的三倍点．若数轴上点 在原点的左边，且到原点的距离为1，点
在原点的右边，且到点 的距离为4．
(1)直接写出 两点表示的数；
(2)若点 是 的三倍点，求点 表示的数；
(3)若点 在点 的左边，是否存在使得 中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存
在，请求出点 表示的数；若不存在，请说明理由．
12．已知在数轴上，一动点 从原点 出发，沿着数轴以每秒 个单位长度的速度来回移动，第
次移动是向右移动 个单位长度，第 次移动是向左移动 个单位长度，第 次移动是向右移动 个
单位长度，第 次移动是向左移动 个单位长度，第 次移动是向右移动 个单位长度，…….
(1)求出 秒钟后动点 所在的位置；
(2)第 次移动后，点 在表示数______的位置上，运动时间为______ ；
(3)第 次移动后，点 运动时间为______ ，当 为奇数时，点 在表示数______的位置上；当
为偶数时，点 在表示数______的位置上；
(4)如果在数轴上有一个定点 ，且 与原点 相距 个单位长度，问：动点 从原点出发，可能
与 重合，若能，则第一次与点 重合需要多长时间？若不能，请说明理由．13．阅读理解：对于有理数a、b， 的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离； 的
几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如： 的几何意义即数轴表示
数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1) 的几何意义：_____________；若 ，那么x的值是_________．
(2) 的几何意义：________________； 的最小值是______________
(3) 的最小值是多少？
14．对于有理数 ， ， ， ，若 ，则称 和 关于 的“美好关联数”为 ，例
如，则 ，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1) 和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若 和2关于3的“美好关联数”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“美好关联数”为1， 和 关于2的“美好关联数”为1， 和 关于3的
“美好关联数”为1，…， 和 的“美好关联数”为1，…．
① 的最小值为______；② 的值为______．
15．数轴上点A表示 ，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点
B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为 个单位长度．
动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速
度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从
点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点
时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当 秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离 为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段 上时，O、M两点间的和谐距离 __________（用含
有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离 __________（用含有t的代数式表示）；
__________时，M、N两点相遇；
(3)当 __________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当 __________时，
M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
16．定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每
组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，
则这10个值的和的最小值是 ．17．已知 ，求 的最大值与最小值．
18．阅读：如图，已知数轴上有 、 、 三个点，它们表示的数分别是 ， ，8． 到 的
距离可以用 表示，计算方法： 表示的数8， 表示的数 ，8大于 ，用 ．用式
子表示为： ．根据阅读完成下列问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒4个单位长度和9个
单位长度的速度向右运动，试探索： 的值是否随着时间 的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点 移动6秒时，
点 才从 点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点 移动的时间为 秒 ，
写出 、 两点间的距离（用含 的代数式表示）．
