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专题04 有理数运算中的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式： ……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式： ________ _______
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数） ______ _______
(3)求 的值．
2．先阅读下列式子的变形规律：
；
；
；
然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】
(1)类比计算： ______， ______，
归纳猜想：若 为正整数，那么猜想 ______．(2)知识运用，选用上面的知识计算 的结果．
(3)知识拓展：试着写出 的结果．
3．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
① 的个位数字是___________； 的个位数字是___________；
② 的个位数字是___________； 的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
① 的个位数字是___________， 的个位数字是___________；
② 的个位数字是___________， 的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则 的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
4．观察下列各式：
，而 ；
，而 ；
，而 ；
(1)猜想并填空：
_______ _______；
(2)根据以上规律填空：
_______ _______；
(3)求解： ．
5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方
是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正
中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9
所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2所示，则幻和＝______；
(2)若b＝4，c＝6，求a的值；
(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数
字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
6．探究规律，完成相关题目．
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这
种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻
方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 的方格中得到的，其每一行，每一列，每
一条对角线上的三个数字之和都相等．
（1）设下面的三阶幻方中间的数字是 （其中 为正整数），请用含 的代数式将下面的幻方填
充完整；
______
______
______ ______
（2）若设（1）幻方中9个数的和为 ，则 与中间的数字 之间的数量关系为______；
（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面 的方格中．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时
笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣
3）＋（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳
3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的
数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点
经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的
式子表示）
8．观察下面三行数：
2， ，8， ，32， ，……； ①
0， ，6， ，30， ，……； ②
，2， ，8， ，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第 个数是________；
（2）第②行的第 个数是________，第③行的第 个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7
－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝ ；
②|－ ＋ |＝ ；
（2）用简单的方法计算：| － |＋| － |＋| － |＋……＋| － |．
10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ，以此
类推，第 个数记为 （n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中， ， ，
， ， ．规定运算 ，即从这列数的第一个数开始依
次加到第 个数，如在上面这列数中： ．
（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则 ______．
（2）已知一列有规律的数： ， ， ， ， ，按照规律，这列数可以
无限的写下去．
①求 的值．
②是否有正整数 满足等式 成立？如果有，请直接写出 的值．如果没有，请说
明理由．
11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A 开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单
1
位到达点A；第二次从点A 向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A；第三次从点A 向
2 2 3 3
左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A，…，点P按此规律移动，那么：
4
（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是 ；
（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是 ．
13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）
（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）
14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示， ，
……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为 ．
（1） ______（用n表示）： _______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定 ，
例如： ．
①计算： 的值；
②比较： 与 的大小．
