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专题 04 相似三角形
重点 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判
难点
定和性质解决生活中的实际问题
易错 相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
一、相似三角形的判定
1．相似三角形的判定定理
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】如图，在 中，高 、 相交于点F．图中与 一定相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）
A． B． C． D．
二、相似三角形的性质运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而
不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如图， ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2
【例4】如图，已知 和 的相似比是 ，且 的面积为2，则四边形 的面积为（
）
A．6 B．8 C．4 D．2
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这
一原则．
【例5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜
边DF保持水平，并且边DE与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 ， ，测得
边DF离地面的高度 ， ，则树高AB为（ ）m．
A．5 B． C．7 D．
【例6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取
点A，B，D，使得 ，然后找到 和 的交点C，如图所示，测得
，则可计算出河宽 为（ ）A．16m B．15m C．14m D．13m
一、单选题
1．如图， ， 相交于点 ，且 ，若 ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知 ，相似比为 ，则 为（ ）
A．2 B．5 C．5 D．1
4．如图， ， ， 交于 ，图中相似三角形共有（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
5．如图，E是 的边 的延长线上的一点，连接 ，交边 于点P．若 ，则 与
的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 则有
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．如图，已知 ， ， 是线段 的中点，且 ， ，那么
______．
8．如图，已知 中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， ， ， ，当 的
长度为______时， 和 相似．三、解答题
9．如图，在 和 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 是否相似？并证明．
10．如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连结 并延长，交 于 ，交 的延长线于点
．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，直接写出 的长．
一、单选题
1．如图，在 和 中， ，且 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
2．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为 ，阴影部分三角形
的面积为 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ∥ ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在 中， ， ， ， 为 的角平分线，过 作
于点 ，交 于点 ．则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中，点D，E分别是边 的中点， 与 交于点O，连接 ．下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连接
、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：其中正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
7．如图，在 中， ， ， ，则 ______cm．
8．如图， 、 、 、 分别为矩形 的边 、 、 、 的中点，连接 、 、 、
、 ，已知 ， ，则下列结论：① ；② ∽ ；③
；④ 正确的是______（填写序号）
三、解答题
9．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速
度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设移动时间为 ．
(1)当 为多少时， 的面积是 ？
(2)当 为多少时， 与 是相似三角形？
10．如图， 中， 是直角，过斜边中点 而垂直于斜边 的直线交 的延长线于 ，交
于 ，连接 .
求证：
(1) ；
(2) .
