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专题 05 有理数的乘除法之七大考点
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【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 两个有理数的乘法运算】................................................................................................................1
【考点二 多个有理数的乘法运算】................................................................................................................2
【考点三 倒数】................................................................................................................................................3
【考点四 有理数乘法运算律】........................................................................................................................4
【考点五 有理数乘法的实际应用】................................................................................................................6
【考点六 有理数的除法运算】........................................................................................................................8
【考点七 有理数的乘除混合运算】................................................................................................................9
【过关检测】...................................................................................................................................................11
【典型例题】
【考点一 两个有理数的乘法运算】
例题：（2023·山西·统考中考真题）计算 的结果为（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2023·江苏·七年级假期作业）计算 的结果是（ ）A．10 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．
【详解】解： ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．
2.（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可．
【详解】解：A、 ，故正确，不合题意；
B、 ，故错误，符合题意；
C、 ，故正确，不合题意；
D、 ，故正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键．
【考点二 多个有理数的乘法运算】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)−200
【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解．（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，
熟练掌握乘法计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·全国·七年级假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】根据乘法交换律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的乘法运算．掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．
2.（2023·全国·九年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）6
【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果
为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【详解】解：（1） ；（2） ．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当
负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【考点三 倒数】
例题：（2023·江苏镇江·统考二模） 的倒数等于 ．
【答案】2023
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解： 的倒数是2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
【变式训练】
1.（2023春·上海普陀·六年级统考期末） 的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【详解】 的倒数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键．
2.（2023春·上海宝山·六年级校考期中） 的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义即可完成．
【详解】解： ，
∴ 的倒数是 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【考点四 有理数乘法运算律】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：
【答案】
【分析】将 改写为 ，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）
【答案】
【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果．
【详解】
．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键．
2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．
【考点五 有理数乘法的实际应用】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，
不足的部分用负数来表示，记录如下表
标准质量的差（单位：千
0 2 3
克）
箱数 1 3 2 2 2 4 1
请解答下列问题：
(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克．
(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？
【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过 千克．
(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；
（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；
（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．
【详解】（1）解： （千克），
答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
（2）解： （千克），
答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过 千克．
（3）解： （千克），
（元），
答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．
【变式训练】
1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，
一周进出数的记录如下表(单位∶吨)
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；
(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？
【答案】(1)星期五的进出数为 吨
(2)1160元
【分析】（1）用这周进出数之和 减去除星期五的进出数，即可得；
（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．
【详解】（1）解：周五的进出数为
(吨)，
答：星期五的进出数为 吨．
（2）解：这一周的装卸费为： (元)．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．
2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运
营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，
， ， ， ， ，
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？
(2)离开下午出发点最远时是__________千米；
(3)若汽车的耗油量为 升/千米，油价为 元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？
【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边
(2)26
(3) 元
【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，
反之在西边；
（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；
（3）耗油量 每千米的耗油量 总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．
【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离 （千米）．
答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；
（2）解：当行程为 千米时离开下午出发点15千米；
当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；
当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；
当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；
当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；
当行程为 千米时离开下午出发点 （千米）；
∵ ，
∴离开下午出发点最远时是26千米，
答：离开下午出发点最远时是26千米；
（3）解：∵这天下午小李所走路程
（千米），
∴这天下午共需付油钱 （元），
答：这天下午共需支付 元油钱．
【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．
【考点六 有理数的除法运算】
例题：（2023·浙江·七年级假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的除法，求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．
【变式训练】
1.（2023·全国·九年级专题练习）计算： ．
【答案】【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．
2.（2023春·上海·六年级专题练习）计算： ＝ ．
【答案】
【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．
【详解】解：原式＝﹣3×（﹣ ）＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【考点七 有理数的乘除混合运算】
例题：（2023·江苏·七年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计
算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；
（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．
【变式训练】
1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．
2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) ÷（ ）÷（ ）； (2)（ ）÷（ ）÷（ ）；
(3)（ ）×（ ）÷ ； (4)（ ）÷（ ）×（ ）．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ ；
（4）原式＝ ．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中） 的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可．
【详解】 的倒数为
故选：B．
【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）计算： （ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解： ．
故选：A
【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的
乘法法则是解题的关键．
3．（2023·河北衡水·校联考二模）计算 的过程，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先将带分数化为假分数，再根据有理数的混合运算，先计算括号，再计算除法，即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
4．（2023·浙江·模拟预测）下列式子：① ；② ；③ ；④ 中，其计算结果最
大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据有理数的加、减、乘、除法，分别计算即可求解．
【详解】解：① ；
② ；
③ ；
④ ，
∵
∴计算结果最大的是②
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘、除法运算，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的运算法则是
解题的关键．
5．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图， ， 两点在数轴上表示的数分别为 ， ，下列结论正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出 ， ，再由有理数加(减)法法则、有理数的大小比较方法、 与
的符号，进行逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得： ， ，
A. ，故此项错误；
B.因为 ，所以 ，故此项错误；C.由数轴得 到原点的距离小于 到原点的距离，所以 ，故此项正确；
D.因为 ， ，所以 ，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是
解题的关键．
二、填空题
6．（2023·浙江·七年级假期作业）计算： = ； = ； = ；
= ．
【答案】
【分析】先将小数化成分数，然后根据分数的加减法和乘除法运算法则计算即可．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：1， ，5， ．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算和乘除运算，掌握分数混合运算的法则是解答本题的关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）在数5， ，2， 中任取三个数相乘，其中积最小的是 ．
【答案】
【分析】因为几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当
负因数有偶数个时，积为正，而负数小于一切正数，由于本题负数只有两个，故四个数中取三个数相乘，
负因数有1个时，可得到积的最小值．
【详解】由题意知，两个正数与最小的负数的积最小，
即 ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2023·全国·八年级假期作业）若a，b，c，d是不为零的实数，且a，b互为相反数，c，d互为倒数，
则 的值 ．
【答案】1
【分析】根据互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个数乘积为 ，即可得出答案．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴ ， ，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及倒数的定义，熟知互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个
数乘积为 是解本题的关键．
9．（2023·江苏·七年级假期作业）对于任意有理数a、b，定义新运算“ ”，规定
，则 ．
【答案】
【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第九中学校考期末）有一数值转换机，原理如图所示，若输入
的x的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，…，请你写出第2022次输出的结果是
．
【答案】1
【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，求得第2022次输出的
结果即可．
【详解】解：由题意可得，
第一次输出的结果是6，
第二次输出的结果是3，
第三次输出的结果是8，
第四次输出的结果是4，
第五次输出的结果是2，
第六次输出的结果是1，
第七次输出的结果是6，
…，
由上可得，输出结果依次以6，3，8，4，2，1循环出现，
∵ ，
∴第2022次输出的结果是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的加法及乘法，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的
变化特点，求出相应次数的输出结果．
三、解答题
11．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）计算：
【答案】【分析】先计算除法运算，乘法运算，再计算减法运算即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
12．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注
意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）（2）
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺
序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括
号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
14．（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（3）根据乘法分配律进行计算；
（4）根据有理数的乘除混合运算进行计算；
（5）根据有理数的混合运算进行计算；
（6）根据乘法分配律进行计算；
（7）根据乘法分配律进行计算；．
（8）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；（4）解： ；
（5）解： ；
（6）解： ；
（7）解：
（8）解： ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数运算法则以及运算顺序是解题的关键．
15．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）课堂上，老师给出1， ， ，-12四个有理数，借助＋，－，×，
÷中的运算符号，引导学生们做如下练习：
(1)计算： ；
(2)对于式子：1□ ，补全“□”中的运算符号，使运算结果为正整数，并写出运算过程．
【答案】(1)6
(2)“□”中的运算符号是－，过程见解析
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算法则，再结合运算结果为正整数计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）“□”中的运算符号是－，
∵ ．
∴运算结果为正整数，符合题意，即“□”中的运算符号为：“ ” ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到非负数、正整数的−定义，解题的关键是熟练掌握有理数的混
合运算法则．
16．（2023·浙江杭州·校考三模）下面是亮亮同学计算一道题的过程：②
③
(1)亮亮计算过程从第 步出现错误的；（填序号）
(2)请你写出正确的计算过程．
【答案】(1)①
(2)
【分析】（1）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减， 同级运算按照从左到右的顺序进行，即可；
（2）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减，即可．
【详解】（1）∵在 的计算过程中，先计算了乘法，而除法和乘法是同级，应该按
照从左到右的顺序进行
∴应该先计算除法
∴ 错误．
故答案为： ．
（2）
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．
17．（2023春·上海·六年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列
各问题：
(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为
________；(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为
________；
(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），
使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）
【答案】(1)-5和-3，15
(2)-5和+3， ；
(3) (答案不唯一)
【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个
卡片即可．
（2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝
对值，然后选择商最小的两个卡片即可．
（3）把 分解因数，可得到 ， ， ，然后找到合适的卡片能够通过运算得到
的因数即可．
【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘
则有 ，
积最大为 ，
选择卡片 和卡片 ；
故答案为：-5和-3，15；
（2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值．
则有 ， ，
商最小为 ，所选择卡片 和卡片 ，
故答案为：-5和+3， ；
（3）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．18．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，
不足的千克数记作负数，称后的纪录如下：
回答下列问题：
(1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重__________千克；
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价3元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
【答案】(1)
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计不足 千克
(3)
【分析】（1）记录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数；
（2）先将记录中各数相加，再根据正负数的意义解答；
（3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案．
【详解】（1）∵最接近标准重量的是记录中绝对值最小的数，
又∵ 的绝对值 ，最小，
∴最接近标准重量的这筐白菜重： 千克，
故答案为： ；
（2） ，
答：与标准重量比较，8筐白菜总计不足 千克；
（3）总重量为： （千克），
总收入： （元），
答：出售这8筐白菜可卖 元．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和
“负”的相对性，确定具有相反意义的量．
