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专题 07 一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（原卷版）
基础模型
已知:点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP= BD(或AC = BP或
CP=PD)
结论1:△APC≌△BDP
已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3,且 AP= BD(或
AC=BP或CP=PD)
结论2:△APC≌△BDP
模型拓展
已知:点P在线段AB 上,∠1=∠2= ∠3,且AP= 已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=
BD(或AC= BP或CP=PD) ∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)
结论3:△APC≌△BDP 结论4:△APC≌△BDP
专题简介：本份资料包含一线三等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三
垂直模型类压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题。适合于培训机构的老师给学生作
专
题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。
题型 1：一线三等角模型中档大题
1.如图， ， ，且 ．
（1）试说明： 是等腰直角三角形；（2）若 ，求 的度数．
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．
3．（雅礼）如图，在△ 中， ，点 是边 上一点， ，点 在边 上．
（1）若 ，求证：
① ；
② ；
（2）若 ， ，求 的度数．
A
E
B C
D4.如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ， ，求
，求 的长．
5.已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点
D. E，求证：DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A. E三点都在直线m上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若
不成立，请说明理由。
6．（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？
请予以证明．题型 2：一线三等角模型常规压轴题
7.（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是
D、E．求证：BD＋CE＝DE；
（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补
充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB
＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，
并予以证明．8. 已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作
BD⊥AE，交AE的延长线于D．
（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D
作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH
的长．9.如图（1），已知 中， ， ； 是过 的一条直线，且 ， 在 的
异侧， 于 ， 于 ．
（1）求证： ；
（2）若直线 绕 点旋转到图（2）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请给予证明．
（3）若直线 绕 点旋转到图（3）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请直接写出结果，不需证明；．
10.如图， 中， ， ， 点为射线 上一动点，连结 ，作
且 ．
（1）如图1，过 点作 交 于 点，求证： ；
（2）如图2，连结 交 于 点，若 ， ，求证： 点为 中点．（3）当 点在射线 上，连结 与直线 交于 点，若 ， ，则 ______．
（直接写出结果）题型 3：坐标系中的三垂直模型类压轴题
11．（广益）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，
AC⊥AB，AC＝AB．
（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM +S△BOM 的值．
12．（师大）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C
在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数
量关系？并说明理由．13．（青竹湖）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作
等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，
始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G
点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．
14．（青竹湖）如图1，在平面直角坐标系中，点 ，连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到
OB．
（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B做 交y轴于点D，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O做 ，若 ，求OM的长．
y y y
A A A
B B B
O x C O x C O M x
D D
15.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x
轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．
（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；
（2）用含n的式子表示点D的坐标；
（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．
16．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，
0），又a，b满足 ﹣ + b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限
的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．
（1）求点A，B，C的坐标为A 、B 、C ．
（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．17．（雅礼）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若B（0，a），C（b，0）且a、b满足 +|b﹣9|＝0．则a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，在（1）的条件下，过点A作直线l∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥l于点D．
①求证：△ABE≌△CAD；
②直接写出A点坐标；
（3）如图2，过点A和点C分别作x轴和y轴的平行线相交于点D，若BC＝BD，试问 的比值是否
不变，若不变，求出比值；若变化，请说明理由．18．（青竹湖）等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，a），点B（b，0），且a和
b满足|a﹣1|+ ＝0，点C在第四象限．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）①若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DM，求证：AD+DE＝
BM；
②在y轴上取点F（0，﹣3），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位
置变化的过程中， 是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．
