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专题 07 二次函数与一元二次方程和不等式
【思维导图】
◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x 、x ，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0
1 2
的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数 (a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线 的对称轴是 ，关于x的方程
的一个根为 ，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．0
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴的一个交点是 ，另一个
交点是B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 6
y 0 4 6 1
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线 与 轴的一个交点是
，另一交点为 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8◎考试题型2 抛物线与y轴的交点情况
图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。
例．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广东广州·九年级期末）函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
变式2．（2021·河南·许昌市建安区教学研究室九年级期中）若抛物线 与x轴交于点A、B，
与y轴交于点C，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
变式3．（2021·安徽·合肥市庐阳中学九年级阶段练习）抛物线 与 轴交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
◎考试题型3已知函数值求自变量的值
只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值
例．（2022·辽宁鞍山·九年级期末）二次函数 图象经过点 ，且图象对称轴为直线
，则方程 的解为（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程 的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．变式2．（2013·浙江杭州·九年级阶段练习）若函数 ，则当函数值 时，自变量 的
值是（ ）
A．± B．4 C．± 或4 D．4或－
变式3．（2019·重庆·九年级期末）已知（m，﹣2）是抛物线y＝x2﹣x﹣3上一点，则代数式m2﹣m+2018
的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
◎考试题型4 根据图像确定方程根的情况
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数 (a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
例．（2022·河北石家庄·九年级期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则
方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝1或﹣4
C．x＝1，x＝﹣3 D．x＝﹣1，x＝﹣2
1 2 1 2
变式1．（2022·天津南开·模拟预测）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点
，下列结论：① ；② ；③ ；④若方程有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元
二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
变式3．（2021·浙江·杭州市建兰中学一模）已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有
三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
◎考试题型5 图像法确定一元二次方程的近似根
例．（2022·河南南阳·九年级期末）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可
以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
变式1．（2021·河南周口·九年级期中）如表，是二次函数 的自变量x与函数值y的几组对应值．
那么方程 的一个近似解是（ ）
x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1.49 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程 的正数解在
（ ）
－1 0 1 2 3 4－ 1
－7 －1 5 23
5 3
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
变式3．（2022·贵州六盘水·九年级学业考试）根据下表的对应值，可判断关于x的一元二次方程
必有一个根满足（ ）
x … 0 0.5 1 …
… 1 2.5 3 2.5 1 …
A． B． C． D．
二次函数与不等式（组）
◎考试题型6
1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
例．（2022·全国·九年级课时练习）函数 图象如图，一元二次方程 有实数根，
则m最大值为（ ）
A．-3 B．-5 C．3 D．9
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）若A（﹣ ，y）、B（﹣ ，y）、C（ ，y）为二次函数y＝
1 2 3
﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y、y、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 与x轴交于两点 ， ，则x为
（ ）时， ．
A． B． 或 C． 或 D．变式3．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，已知函数 与 的图象交于 、
两点，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
