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专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候
还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号 之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号 之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
5） ， ， ， ， ， ，…， （ 为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…， .
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
题型1：数列的规律
1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，……，第n个单项式是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个
位数字是（ )．
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，
而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是
（ ）
A．35 B．40 C．45 D．504．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列
的，那么这一组数的第8个数是_____．
5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对
应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时
停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项： ， ， ， ，…，依此规律下去，则第7
项是__________；第 项是__________．
题型2：数表的规律
1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，
从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115 B．114 C．113 D．112
2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如
图），此图揭示了 （n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：请写出 展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，
从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
4．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：
按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．
用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九
个数中最小的数是171，则最大的数是 _____．
6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数
表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为___．
题型3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知： ， ， ，……那么
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东泰安·期中） （n为非负整数）当 ，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了 展开后各
项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为 展开式中所有项系数的和应该是
（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
3．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整
数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
4．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知： ； ； ；
…，若 符合前面式子的规律，则 的值是（ ）
A．90 B．89 C．100 D．109
5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律：则第n行各数之和是（ ）
A．2n2＋1 B．n2-n＋1 C．(2n-1)(n2-n＋1) D．(2n＋1)(n2-n＋1)
6．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：
；
；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则 ______．
题型4：图形的规律（一次类）
1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根
小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（ ）A．49 B．50 C．55 D．56
3．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下
层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除
外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（ ）个
A．3031 B．3032 C．3033 D．3034
4．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续
摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（ ）
A．520 B．521 C．523 D．524
5．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，
图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（ ）
A．22 B．25 C．28 D．32
6．（2022·河北沧州·七年级期末）如图所示的图案是用长度相同的木条按一定规律摆成的.摆第1个图案需
8根木条，摆第2个图案需15根木条，摆第3个图案需22根木条，…，按此规律摆第 个图案需要木条
( )A． 根 B． 根 C． 根 D． 根
题型5：图形的规律（二次类）
1．（2022·重庆一中八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，
第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规
律，第六个图案需要的火柴棒根数为（ ）
A．45 B．63 C．84 D．108
2．（2022·重庆一中七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3
个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第
⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（ ）
A．63 B．64 C．80 D．81
3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，
第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（
）
A．80 B．79 C．70 D．63
4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角
形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有
1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边
对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）
5．（2022·山东烟台·期中）如图，第 个图形需要的棋子数量是_________．（用含有 的代数式表示）
6．（2022·山东烟台·期末）公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰
直角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．
则人行道上总共使用______块三角形地砖．
题型6：图形的规律（指数类）
1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C 的等边三角形卡纸，把图①的卡
1
纸剪去一个边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 的等边三角形
后得到图③，依次剪去一个边长为 、 、 …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n
（n≥3）中的卡纸的周长为C ，则C ﹣C ＝_____．
n n n﹣12.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，
每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行
9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8= ×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正
方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸
片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两个面积为 的
长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：
把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别
重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中
的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图
形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积为S，则S＝_____，
1 2 n 4
S+S+S+…+S ＝______．
1 2 3 2021题型7：程序框图
1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结
果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6 B．3 C．24 D．12
2.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结
果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．625
3.（2022•龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则第2020次输出的结果
为 ．
4.（2021春•新蔡县期末）按下面的程序计算：
若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出
的结果为556，则开始输入的x值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，则第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为__________．
6．（2021·祥云县教育体育局教研室七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入
的值为 ，则第 次输出的结果是______．
题型8：新定义运算
1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝ ；（2）若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2
2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数 ，如果其个位上的数字与百位上的数字之
和等于十位上的数字，则称 为“阳光数”．现将 的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得
到一个新数 ，规定 ．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数 = 642，所以
．（1）若 是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求 的值；
（2）若 是8的倍数，则称这样的 为“多彩阳光数”，求最大的“多彩阳光数”．
3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级其他模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数
是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因
为25≠n（2＋5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．
1
4.（2021春•奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如3的差倒数是
1−a
1 1 1 1
=− ，﹣1的差倒数是 = ，已知a 是a 的差倒数，a ＝3，a 是a 的差倒数，a 是a 的差
2 1 1 3 2 4 3
1−3 2 1−(−1) 2
倒数，…以此类推，则a ＝ ．
2020
5．（2022·河南罗山）在平面直角坐标系xoy中，对于点P(x,y),我们把点P′(-y+1,x+1)叫做点P伴随点．已
知点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A，…，这样依次得到点A，A，A，…，
1 2 2 3 3 4 1 2 3
A，…．若点A 的坐标为(2，4)，点A 的坐标为( )
n 1 2020
A．(-3，3) B．(-2，-2) C．(3，-1) D．(2，4)
6．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题
如果一个正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 ，则这个数表示为 ．
有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，
我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅
读材料，回答下列问题：
(1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对
值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由．
(2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．
