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专题 07 难点探究专题：化简绝对值之四大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 利用数轴化简绝对值】....................................................................................................................1
【考点二 分类讨论化简绝对值】....................................................................................................................5
【考点三 利用几何意义化简绝对值】..........................................................................................................10
【考点四 解绝对值方程】..............................................................................................................................18
【典型例题】
【考点一 利用数轴化简绝对值】
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求 ＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【变式训练】
1．（2023·江苏·七年级假期作业）已知 、 、 的大致位置如图所示：化简 的结果是（
）A． B． C． D．
2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
．
3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所
示．
(1)用“＞”或“＜”填空： 0， 0， 0；
(2)化简 ．
4．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
6．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”）
①a______0； ②b______0； ③ ______0； ④ ______0；
(2)比较下列式子的大小，用“<”连接；； ； ； ； ； ．
(3)化简 ．
【考点二 分类讨论化简绝对值】
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的有理数，
则 的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
2．（2022秋·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝ ，所以当x＞0时， ＝1，
当x＜0时， ＝﹣1．
解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求 的值．
3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；
（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．4．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______．
(2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简 ，当 时， ；当
时， ；当 时， ．求解下列问题：
(1)当 时， 值为______，当 时， 的值为______，当x为不等于0的有理数时， 的值为
______；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)已知： ，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，
，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【考点三 利用几何意义化简绝对值】
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示 和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果 ，那么 ______；
(3)若 ， ，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是
______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于 与 之间，则 _____．
(5)当 _____时， 的值最小，最小值是_____．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．2．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，A、
B两点间的距离表示为AB，则 ．所以 的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间
的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．
（2）若 ，则 的值是 ．
（3）如果数轴上表示数 的点位于－4和2之间，求 的值；
（4）点 取何值时， 取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子 取最小值时，相应 的取值范围是多少？最小值是多少？
3．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，
世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可
以从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为 ，例如 表示
到2的距离，而 则表示 到 的距离；②我们知道： ，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简 时，可先令 和 ，分别求得 ， （称 和2分别为
的零点值），在实数范围内，零点值 和 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3
种情况：① ；② ；③ ．从而化简 可分以下3种情况：
①当 时，原式 ；
②当 时，原式 ；
③当 时，原式 ．
综上，原式＝
结合以上材料，回答以下问题：
(1)若 ，则 ．
(2)当代数式 取最小值时，x的取值范围是 ．
(3)代数式 有最大值，这个值是 ．
【考点四 解绝对值方程】
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1) (2) (3) (4)
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ．
若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别解方程可
得 或 ，利用上面的知识，解方程： ．
3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上
也可以理解为4与 两数在数轴上所对应两点之间的距离：同理 也可以理解为x与3两数在数轴上
所对应的两点之间的距离， 就表示x在数轴上对应点到 的距离，由上面绝对值的几何意
义，解答下面问题：
(1) ，若 ，则 ；
(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得 ；
(3)求 的最小值，并写出此时x的取值情况．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
(1)利用上述方法解方程： ．
(2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两个解．
5．（2022秋·七年级单元测试）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联
系，它是“数形结合”的基础，我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0
的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即
若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为 ．
问题探究
(1)若 ，则 ．
(2)若 ，则 ．
(3)若 ，则 ．
问题解决
(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足 且
的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ．
