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专题08 互补型旋转模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）如图，在四边形 中， 于
，则 的长为__________例2．（模型探究）回答问题
（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是
BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明
ABE≌△ADG，再证明 AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是
△ △
BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的
延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出
∠EAF与∠DAB的数量关系．
例3．（培优综合）如图，在 中， ， ，点 在 上，点 在上， ，连接 ， ， ，垂足为 ．证明：
．
【课后作业】
1．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点 ， ， 分别是三个正方形的
中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2 B．3 C．6 D．8
2．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、
DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)= BC，② ，③ AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可
能互相平分，其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且
OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，
连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．
5．问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．探
究图中线段 ， ， 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到
G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结
论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ，
， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是
否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ，
， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是
否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇
乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰
艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小
时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心
观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．6．五边形ABCDE中， ， ， ，求证：AD平分
∠CDE．
7．如图， ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把
∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
△
（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
8．如图所示， 中， ， ，把一块含 角的直角三角板
的直角顶点 放在 的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为 ），将三
角板 绕 点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中， 交 于 ， 交 于 ，证明 ；
（2）继续旋转至如图所见，延长 交 于 ，延长 交 于 ，证明 .
9．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断
BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利
用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在
边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有
EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知
AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、
F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF
的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）
