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专题 08 分式方程解的三种考法
类型一、整数解的问题
例．关于x的不等式组 有解，且使关于x的分式方程 有非负整数解的所有
m的值的和是（ ）
A．-1 B．2 C．-7 D．0
【答案】C
【详解】解： 关于 的不等式组 有解，
由 可得：
，解得 ，
由 解得 ，
分式方程 有非负整数解，
是非负整数，
， ， ， ，
故选： ．
【变式训练1】若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程
的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】D
【详解】解： ，
由①得，x＞2，由②得x＞a-1，∵不等式组的解集为x＞2，∴a-1≤2，
∴a≤3， ，3-ay+3=3-y，（a-1）y=3，y=
∵方程的解为整数，∴a=-2，0，2，4，
∵y≠3，∴ ≠3，∴a≠2，
∵a≤3，∴a的取值为-2，0，
∴所有满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2，
故选：D．
【变式训练2】若关于x的不等式组 有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程
有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7 B．10 C．18 D．21
【答案】C
【详解】解不等式组：
由①得：
由②得： ， ，
∴不等式组的解集为
∵不等式组有且只有两个奇数解
∴ ，解得：
∵分式方程有解，则分母不为零
∴
解分式方程：，解得：
∴满足条件的m值为5，6，7
∴所有满足条件的整数m的和是 ，故选C．
【变式训练3】若关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，且关于y的分式方程
有非负整数解．则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．6
【答案】B
【详解】解： ，解不等式①得x≤k，
解不等式②得x＜5，由题意得k＜5，
解分式方程 得，y＝ ，
由题意得， ≥0，且 ≠1，解得，k≥﹣3且k≠﹣1，
∴k的取值范围为：﹣3≤k＜5，且k≠﹣1的整数，
∴k的取值为﹣3，﹣2，0，1，2，3，4，
当k＝﹣3时， ＝0，当k＝﹣2时， ＝ ，当k＝0时， ＝ ，
当k＝1时， ＝2，当k＝2时， ＝ ，当k＝3时， ＝3，当k＝4时， ＝ ，
∵ 为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣3，1，3，
∵﹣3＋1＋3＝1，∴符合条件的所有整数k的和为1．
故选：B【变式训练4】已知关于x的分式方程 的解为正数，关于y的不等式组 ，
恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解： ，去分母得， ，解得 ，
时，方程产生增根， ，即 ， ，
， 且 ， ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
不等式组有解，∴不等式组的解集为： ，
恰好有三个整数解， ，解得 ，
又 且 ， 且 ， 整数 为 ，其和为1+3=4，故选C．
类型二、增根问题
例1.若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1.5 B．-6 C．1或-2 D．1.5或-6
【答案】D
【详解】解： ，
方程两边同乘以 ，得 ，即 ，
关于 的分式方程 有增根，
或 ，即 或 ，
（1）当 时，则 ，解得 ，
（2）当 时，则 ，解得 ，综上， 的值为 或 ，
故选：D．
【变式训练1】关于x的分式方程： ．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【详解】解：（1）把m=3代入方程得： ，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6．
【变式训练2】关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．6
【答案】A
【详解】解：由题意得，分式两边同乘（x-2）得： ，
化简得： ，
∵方程有增根，∴x=2，
即： ，
解得： ，
故选：A．
【变式训练3】若关于x的分式方程 有增根，则增根是______．
【答案】1
【详解】解： ，
方程两边都乘以∴方程的增根是使 的x的值，
故答案为1
【变式训练4】若关于x的方程 有增根，则 的值为___________．
【答案】-1
【详解】解：方程两边同乘以x−2
得 ①
∵原方程有增根，∴x−2=0，
即x=2.
把x=2代入①，得
m=−1.
故答案为：-1．
类型三、无解问题
例1．已知关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得： ，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，∴ 或 ，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．
故选C．
【变式训练1】如果关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解： ，方程两边同时乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，
故选：B．
【变式训练2】若关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．0或1
【答案】D
【详解】方程左右两边同乘（x-1）得，
2m+x-1=m（x-1），化简整理后得，
（m-1）x=3m-1，
当m-1=0，m=1时，0·x=2，此时x无解；
当x=1时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1代入，得，
m-1=3m-1，则m=0，
所以当m=0或1时，分式方程无解，故选D．
【变式训练3】已知关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或 或
【答案】D
【详解】解：由 得x=
∵分式方程无解
∴ =±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或
∴ 或 或
故答案为D.
【点睛】
本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解
有意义是本题的易错点.
【变式训练4】若分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或
【答案】C【详解】情况一：解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18
移项并合并同类项得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根，则x=3或x=0
显然 不可能为0，则
解得：m=0
情况二：转化的一元一次方程无解
由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程无解，则6－m=0
解得：m=6，故选：C
