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专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】............................................................................................1
【考点二 数轴上的动点中求定值问题】........................................................................................................9
【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】..............................................................................................15
【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】..........................................................................................23
【典型例题】
【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】
例题：（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有 、 、 三个点，分别表示有理数 ， ，
，动点 从 出发，以每秒 个单位的速度向终点 移动，设移动时间为 秒．
(1)当 时，点 到点 的距离 ______ ；此时点 所表示的数为______ ；
(2)当点 运动到 点时，点 同时从 点出发，以每秒 个单位的速度向 点运动， 点到达 点后也停
止运动，则点 出发 秒时与 点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点 到达 点之前，请求出点 移动几秒时恰好与点 之间的距离为 个单位？
【变式训练】
1．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）如图，数轴上有 、 两个动点， 点以3个单位长度/秒作匀速移动， 点以2个单位长度/秒作匀速移动，两点初始位置是： 点对应的数是 、 点对应的数是3．
(1)若 点分别到 、 两点的距离相等，那么点 对应的数是几?
(2)若 、 两点同时出发且相向移动，则经过几秒两点相遇?
(3)若 、 两点同时出发向右移动，则经过几秒两点相距3个单位长度?
2．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，
且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运
动时间为 秒．
(1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到 的中点时，它所表示的数是 ．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问：经过
多少秒，
①点P追上点Q？
②点P与点Q间的距离为8个单位长度？
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，数轴上A、B两点表示的数为 、
19，动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度匀速向右运动，动点Q从点B出发，沿数轴以每秒2
个单位长度匀速向左运动，且两点同时出发，设运动时间为t秒．(1)求点A与点B两点间的距离；
(2)当t为何值时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数；
(3)若点P、Q相遇后，点Q按原路立即返回，速度变为原来的2倍，点P继续按原速原方向运动，在整个
运动过程中，t为何值时 ？
4．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）【阅读理解】
定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离一半，则称点C是（A，B）的
相伴点．
例如：如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为1，点C表示的数为 ，点D表示的数为0．点C到
点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点C是（A，B）的相伴点；又如，点D到点A的距离是2，到
点B的距离是1，那么点D就不是（A，B）的相伴点，但点D是（B，A）的相伴点．
【知识应用】
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为 ，点N所表示的数为1．(1)点E，F，G表示的数分别是 ， ， ，其中___________是（M，N）的相伴点；
(2)现有一个动点P从点M出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间t为何值时，点P是
（N，M）的相伴点？
【拓展提升】
(3)如图3，A，B为数轴上两点，若点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，现有两个动点P、Q分别从
点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点P，Q和B中恰有一个点为其余两
点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）．
【考点二 数轴上的动点中求定值问题】
例题：点 在数轴上对应的数分别为 ，且 满足 ．
(1)如图，求线段 的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的根，在数轴上是否存在点P使 ，
若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图，点P在B点右侧， 的中点为 为 靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有
两个结论：① 的值不变；② 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，
并求出其值．
【变式训练】1．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图， 为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，
b，且满足 ，点C为数轴上一动点且对应的数为x．
(1)求a，b的值；
(2)若点C在点A的左侧运动，M是 的中点，式子 的值是否变化？若不变化，请求出其值；
若变化，请说明理由；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时向左运动
了t秒，当 时，请求出此时t的值．
2．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）已知点A、 在数轴上对应的数分别为 、 ，且 ， ，
点A、 之间的距离记作 ，
(1)线段 的长为___________；（直接写出结果）
(2)若动点 在数轴上对应的数为 ，
①当点 是线段 上一点， ，则点 表示的数为__________；
此时 ____________；（直接写出结果）
②当 时，求 的值；
③当动点 在点A的左侧， 、 分别是 、 的中点，在运动过程中 的值是否发现变化？
若不变，求出其值，若变化，请求出变化范围．3．（2023秋·重庆巴南·七年级统考期末）如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且
，我们把数轴上任意两点 、 之间的距离记作 ．
(1)求 和 的值，并求点 、 之间的距离 ；
(2)设动点 从数 对应的点开始向右运动．速度为每秒2个单位长度．同时点 、 在数轴上运动，点
的速度是每秒3个单位长度，点 是每秒4个单位长度，设运动时间为 秒．
①若点 向右运动，点 向左运动，且 ．求 的值：
②若点 向左运动，点 向右运动，若 的值不随时间 的变化而改变，求 的值．
【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】
例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求
A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【变式训练】
1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位
长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】
的三倍点时，求此时P对应的数．
2．如图，已知 为数轴上的两个点，点 表示的数是 ，点 表示的数是20．
(1)直接写出线段 的中点 对应的数；
(2)若点 在数轴上，且 ，直接写出点 对应的数；
(3)若熊大从点 出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点 出发，在数轴上每秒向左前
进12个单位长度它们在点 处相遇，求点 对应的数；
(4)若熊大从点 出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点 出发，在数轴上每秒向左前
进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点 对应的数．
3．（2023春·上海·六年级专题练习）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一
个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数 ，点N表示数4，数 ， ，0，2，10所对应的点分别是 ， ， ， ， ，其
中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是 ，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的
数．
4．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）已知关于x的代数式 不含三次项，且
二次项系数为 ，数轴上 两点所对应的数分别是 和 ．
(1) ＝ ， ＝ ， 两点之间的距离为 ；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位
长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，求点 运动到第
2023次时所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，点 会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点 到点 的距离是点 到点 的
距离的3倍？若可能请求出此时点 的位置，若不可能请说明理由．【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代
数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为 ，所以
的几何意义就是数轴上x所对应的点与 所对应的点之间的距离．
(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数 ，2，x．
填空：因为 的几何意义是线段 与 的长度之和，而当点P在线段 上时， ，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时， ．所以 的最小值是______；
(2)解决问题：
①直接写出式子 的最小值为_______；
②直接写出不等式 的解集为_______；
③当a为_______时，代数式 的最小值是2．（直接写出结果）
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形
结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的
点之间的距离：因为 ，所以 的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之
间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式 的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵ 的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴ 的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1) 的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式： ；
(3)当a为何值时，代数式 的最小值是2
3．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法
使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表
示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值
的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x＝3+4＝7，x＝3﹣4＝﹣1
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（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x＝
1﹣2+5＝3，x＝﹣2﹣5＝﹣7
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材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示
数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值
的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在
﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x＝1+0.5＝1.5．
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阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．
