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专题 09 一次函数与几何图形综合的七种考法
类型一、面积问题
例．如图，直线AB的表达式为 ，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为 点C在线
段 上， 交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若 ，求点C的坐标．
(3)若 与 的面积相等，在直线 上有点P，满足 与 的面积相等，求点P坐标．【变式训练1】如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过定点
，直线 与 交于点 ．
(1)填空： ________； ________； ________；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使 的周长最短？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 秒．是
否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点 ， ， ，点D是y轴正半轴上的
动点，连接 交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为 ，求 的面积；
(2)如图②，若 ，求点D的坐标．(3)如图③，若 ，请直接写出点D的坐标．
【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线 ： 交y轴于点 ，交x轴于点B．过点
且垂直于x轴的直线 交 于点D，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．
(1)求直线 的解析式和点B的坐标；
(2)求 的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当 的面积为2时，以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，求出点C的坐标．
类型二、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过 、 两点．
(1) ______， ______．(2)已知 、 ，
①在直线 上找一点P，使 ．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么 的最小值为______．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线 经过 和 两点，且与 轴， 轴分别相交
于 ， 两点．
(1)求直线 的表达式；
(2)若点 在直线 上，当 的面积等于2时，求点 的坐标；
(3)①在 轴上找一点 ，使得 的值最小，则点 的坐标为______；
②在 轴上找一点 ，使得 的值最大，则点 的坐标为______．
【变式训练2】如图，一次函数 的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数
的图象交于点 ．(1)求正比例函数的表达式；
(2)点D是一次函数图象上的一点，且 的面积是4，求点D的坐标；
(3)点P是y轴上一点，当 的值最小时，若存在，点P的坐标是______．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内， ， ，点 在 轴上， 轴，垂足为 ，
轴，垂足为 ，线段 交 轴于点 ．若 ， ．
(1)求点 的坐标；
(2)如果经过点 的直线 与线段 相交，求 的取值范围；
(3)若点 是 轴上的一个动点，当 取得最大值时，求 的长．
类型三、等腰三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标
为 ，若点P是x轴上的一个动点．(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交 于点M，交 于点N，当点P恰好是 的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的 为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【变式训练1】直线 与x轴、y轴分别交于 两点，且 ．
(1)求 的长和k的值：
(2)若点A是第一象限内直线 上的一个动点，当它运动到什么位置时， 的面积是 ？
(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．（写过程）
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线 交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点 ，
，作线段 的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．(1)如图1，求直线 的解析式和A点坐标；
(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若 ，求点P坐标；
(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接 、 ，将 沿 翻折得到 ，当 是等
腰三角形时，求点Q的坐标．
【变式训练3】如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例
函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为2，点 为 轴上的一个动点．
(1)求 点的坐标和 、 的值；
(2)连接 ，当 与 的面积相等时，求点 的坐标；
(3)连接 ，是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，直线 : 与直线 ： 交于
点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到
，线段 交x轴于点F．
(1)直线 的函数表达式．
(2)当点D在线段 上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若 为直角三角形，求点D的坐标．
【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
与直线 交于点C．直线 与x轴交于点D，若点P是线段 上的一个动点，点P
从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为 ．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当 的面积为12时，求t的值；
(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使 为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，点 是直
线 上的一点，它的坐标为 ，经过点 作直线 轴交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)已知点 是直线 上的动点，
若 的面积为4，求点 的坐标；
若 为直角三角形，请求出所有满足条件的点 的坐标．
【变式训练3】如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，
与 轴以及 的图象分别交于点 ， ，且点 的坐标为 ．
(1)则 ______， ______， ______；
{y=x+1,
(2)关于 ， 的二元一次方程组 的解为______；
y=kx+b(3)求四边形 的面积；
(4)在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点 的坐标．
类型五、等腰直角三角形存在性问题
例．模型建立：如图1，等腰直角三角形 中， ， ，直线 经过点 ，过 作
于 ，过 作 于 ．
(1)求证： ．
(2)模型应用：已知直线 与 轴交与 点，将直线 绕着 点顺时针旋转 至 ，如图2，求
的函数解析式．
(3)如图3，矩形 ， 为坐标原点， 的坐标为 ， 、 分别在坐标轴上， 是线段 上动点，
设 ，已知点 在第一象限，且是直线 上的一点，若 是不以 为直角顶点的等腰直
角三角形，请直接写出点 的坐标．
【变式训练1】综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA
的中点，点 与点 关于 轴对称，作直线 ．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线 的函数表达式；(3)若点 是直线 上的一个动点．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．如图2，连接 ， ．直接写出 为直角三角形时点 的坐标．
B．如图3，连接 ，过点 作 轴于点 ．直接写出 为等腰直角三角形时点 的坐标．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线 交y轴于点 ，交x轴于点B．直线
交AB于点D，交x轴于点E，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)当 时，在第一象限内找一点C，使 为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 交x轴于点 ，与y轴交于点 ，且
a，p满足 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，直线 与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线 上，若 的面积等于6，请求
出点M的坐标；
(3)如图2，已知点 ，若点B为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点Q，使
是以 为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明
理由．
类型六、平行四边形存在性问题
例．在平面直角坐标系 中，直线 分别与 、 轴相交于 、 两点，将线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ．连接 交 轴于点 ．(1)求点 的坐标；
(2) 为 轴上的动点，连接 ， ，当 的值最大时，求此时点 的坐标．
(3)点 在直线 上，点 在 轴上，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点
的坐标；
【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且
满足： ．
(1)求： 的值；
(2) 为 延长线上一动点，以 为直角边作等腰直角 ，连接 ，求直线 与 轴交点 的坐
标；
(3)在（2）的条件下，当 时，在坐标平面内是否存在一点 ，使以 为顶点的四边形是
平行四边形，如果存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练2】如图，直线l：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l：y=kx+b与x轴交于点B
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（3，0），与直线l 交于点D，且点D的纵坐标为4．
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(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l 的解析式及△CDE的面积；
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(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
类型七、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴点B，C且与直线 交于点
A，
(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；
(2)若D是线段 上的点，且 的面积为6，求直线 的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设P是射线 上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形
是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
与直线 交于点P．
(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段 上有一个动点M，过M点作直线 轴，与直线 相交于点N，若 的面积为
，求M点的坐标．
(3)若点C为线段 上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，
若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．
