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专题09 与反比例函数图象有关的拓展探究
1．有这样一个问题：探究函数 的图像与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数 的图像与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数 的自变量 的取值范围是______；
(2)下表是 与 的几组对应值．
求出 的值；
(3)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出
该函数的图像；
(4)写出该函数的一条性质______．
2．小聪在学习过程中遇到了一个函数 ，小聪根据学习反比例函数 的经验，对函数
的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由 的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式 的解集为 ．
3．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数 的图象与性质，探究过程如下：
x … ―3 ―2 ―1 1 2 3 …
y … m 2 4 4 2 1 …(1)①列表：其中，m的值为______；
②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像：
③根据函数图象，写出该函数的一条性质______．
(2)利用图像直接写出当 时，x的取值范围是______．
4．某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是__________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … 1 1.2 2 3 4 5 6 …
y … 1 1.2 m 2 3 4 6 6 5 3 2 1.5 1.2 1 …
求m的值；
(3)根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；
(4)已知函数 的图象如图所示，请直接写出不等式 的解集．
5．某“数学兴趣小组”对函数y 的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完
整．
(1)绘制函数图象：列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ．
… ﹣
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 0.5 1 3 3.5 4 5 6 n 8 ……
… 2
…
y 1 1.2 1.5 2 3 m 6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 ……
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ．
6．某校九年级数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，通过描点、连线的方式画
出了该函数的图象如图所示．请结合图象回答下列问题：(1)①函数 的自变量 的取值范围是______；
②请尝试写出函数 的一条性质：______．
(2)经观察发现，将函数 的图象平移后可以得到函数 的图象，请写出一种平移方
法．
(3)在上述平面直角坐标系中，画出 的图象，并结合图象直接写出不等式 的
解集．
7．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数
性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；(3)运用函数图象及性质
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
8．“卓越数学兴趣小组”准备对函数 图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步
骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝ 的图像（如图
1），然后画出了 的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数 图像可以由y＝ 的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数 图像画出函数 的图像，请在图2中画出此图像
（草图），并写出其中的两条函数性质．(4)他们研究后发现，方程 中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合
图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
9．我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究
(1)将反比例函数 的图像向左平移一个单位，可以得到函数 的图像（如图① ），观
察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ）
③当x<0时，y随x的增大而减小．（ ）(2)在图② 中画出函数 的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；
(3)问题解决：若函数 的图像可以由函数 的图像通过平移得到，求m的值；
(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程 均无解，直接写出a，b，k满足的数
量关系．
10．商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武
大臣官服供应．已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如
图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长a米，另一边加长b米，可得a
与b之间的函数关系式b＝ －2，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的
函数y＝ －2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：(1)类比反比例函数可知，函数y＝ －2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取
值范围是________．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝| －2|的图象和性质，请根据函数y＝ －2的图象
（图2），画出函数y＝| －2|的图象；
(3)根据函数y＝| －2|的图象，写出两条函数的性质；
(4)根据函数y＝| －2|的图象解答下列问题：
①方程| －2|＝0有________个解，该方程的解是________；
②如果方程| －2|＝a有两个不相等解，则a的取值范围是________．
11．参照学习函数的过程与方法，探究函数y （x≠0）的图象与性质，因为y
，即y 1，所以我们对比函数y 来探究．
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
… 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
y
… 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …
y
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y 相应的函数值为纵坐标，描出
相应的点如图所示；(1)请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（“增大”或“减小”）
②y 的图象是由y 的图象向 平移 个单位而得到的：
③图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
(3)函数y 与直线y＝﹣2x＋1交于点A，B，求△AOB的面积．
12．已知函数 ，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．
下表是y与x的几组对应值：
x … 1 2 3 4 …
y … m …
请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性
质进行探究．
(1)其中 __________．
(2)如图，在平面直角坐标系 中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，
画出该函数的图象：(3)根据画出的函数图像特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律：
序号 函数图像的特征 函数变化规律
示例 在直线 右侧，函数图像 当 时，y随x的
1 是呈上升状态 增大而增大
示例
2 函数预想经过点 当 时，
①
函数图像的最低点是
在直线 左侧，函数图像
②
呈下降状态
13．某初中数学社团类比反比例函数的性质，利用网格坐标系对函数 的图像与性质进行
探究．其报告册上探究过程如下（小正方形的单位长度为0.5）：
(1)绘制函数图像，具体操作过程如下：
①列表：下表是x与的几组对应值，计算并填空；
x … 0 2 3 4 …
y … m 1 2 3 n 4 3 2 1 …
________； ________；
②描点：根据表中各组对应值 ，描出各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出图像；
(2)通过观察图像，补全函数的部分性质：
①函数图像关于直线_______对称；
②函数图像与y轴的交点坐标是（____，____）；
③方程 有_______个实数根；
(3)若直线 交函数 的图像于A，B两点，连接 ，过点B作 交x轴于点
C，则 ________．
14．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数
性质的过程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程：
(1)画函数图象：
列表：
… 0 … 2 3 4 5 …
… … 4 2 1 …
直接写出上表中 ， 的值： ______； ______；并描点、连线得到函数图象：(2)观察函数 的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①该函数图象由两支曲线组成，两支曲线分别位于第一、三象限内；
②该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③ 的值随 值的增大而减小；
④该函数最小值为 ，最大值为4．
其中错误的是______；（请写出所有错误命题的序号）
(3)结合图象，直接写出不等式 的解集：______．
15．某班数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
(1)绘制函数图象
①列表：下面是x与y的几组对应值，其中 ______．
… -4 -2 -1 1 2 4 …
… -2 …
②描点：根据表中的数据描点 ，请补充描出点 ；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；(2)探究函数性质
按要求填写函数性质：
①对称性：______．
②最值： 时，此函数有最______值（填大或小）
③增减性：若y随x增大而减小，则x的值范围是______．
(3)函数图象和性质的运用
已知矩形ABCD一边的长为x，面积为1，相邻两边之和为y，当 ______时 ，y有值最小．
16．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．
下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数
的图象与性质．列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出
相应的点，并连线，如图所示．研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
(1)点A（－5，y ，B（－ ，y），C（ x， ），D（x，6）在函数图象上，则 y
1） 2 1 2 1
y， x x ；（填“>”，“=”或“<”）
2 1 2
(2)当函数值 y = 2 时，自变量 x 的值为 ；
(3)在直线 x=－1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x，y），Q（x，y），且y = y ，则
3 3 4 4 3 4
x＋x 的值为 ；
3 4
(4)若直线 y = a 与函数图象有三个不同的交点，则 a的取值范围为 ．
17．请根据函数相关知识，对函数 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
(1)请把表格补充完整，并在图中画出该函数图象．
x … …
y … …
(2)观察图象，写出该函数的一条性质；
(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集．18．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数．
下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质．
列表：
… 0 1 2 3 …
… 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 的取值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，描出相应
的点，如图所示．
（1）观察平面直角坐标系中描出的这些点的分布，画出函数图象；
（2）观察函数图象并结合表格，回答下列问题：
①若点 ， ， ， 在函数图象上，则 _____ ， ______ ；
（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值 时，求自变量 的值；
③在直线 的右侧的函数图象上有两个不同的点 ， ，且 ，直接写出
的值；
④若直线 与函数图象有三个不同的交点，根据图象直接写出 的取值范围．
