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专题 09 压轴大题分类练（三大考点）
一．新定义（热点题型）
1．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A
̂(cid:3) ̂(cid:3) PO
重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作
P
，即P= ，例如：当
PA
̂(cid:3)
点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以 P=1．
1
（1）如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点对称．
1 2 3 1 4 2 1
1
① ^P = ；
2 3
②比较^P ，^P ，^P 的大小 ^P ＜^P ＜^P （用“＜”连接）；
1 2 3 1 2 3
1
（2）数轴上的点M满足OM= OA，求
M
̂(cid:3) ；
3
̂(cid:3) ̂(cid:3)
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知
P＜
100且
P
为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为
198 ．
试题分析：（1）①根据定义求出线段P A与P O的值即可解答；
2 2
②根据定义分别求出^P ，^P 的值即可比较；
1 3
（2）分两种情况，点M在原点的右侧，点M在原点的左侧；
（3）根据题意可知，分两种情况，点P在点A的右侧，点P在OA之间．
1
答案详解：解：（1）①∵点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点对称，
1 4 2 1
1
∴点P 表示的数是 ，
2 4
∵点A表示的数是1，1 3 1
∴P A＝1− = ，P O= ，
2 4 4 2 4
1
P O 4 1
∴ ^P = 2 = = ，
2 P A 3 3
2
4
1
②∵点P 表示的数是− ，
1 4
1 5 1
∴P A＝1﹣（− ）= ，P O= ，
1 4 4 1 4
1
P O 4 1
∴ ^P = 1 = = ，
1 P A 5 5
1
4
∵1＜P ＜2，
3
∴1＜P O＜2，0＜P A＜1，
3 3
P O
∴ ^P = 3 ＞1，
3 P A
3
∴^P ＜^P ＜^P ，
1 2 3
1
所以答案是：① ，② ^P ＜^P ＜^P ；
3 1 2 3
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
1
∵OM= OA，
3
1
∴OM= ，
3
1
∴点M表示的数为： ，
3
1 1 2
∴MO= ，MA＝1− = ，
3 3 3
1
̂(cid:3) MO 3 1
∴M= = = ，
MA 2 2
3当点M在原点的左侧，
1
∵OM= OA，
3
1
∴OM= ，
3
1
∴点M表示的数为：− ，
3
1 1 4
∴MO= ，MA＝1﹣（− ）= ，
3 3 3
1
̂(cid:3) MO 3 1
∴M= = = ，
MA 4 4
3
1 1
̂(cid:3)
∴ 的值为： 或 ；
M
2 4
̂(cid:3) ̂(cid:3)
（3）∵
P＜
100且
P
为整数，
̂(cid:3) PO
∴P= 为整数，
PA
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
̂(cid:3) PO
当P= =1时，
PA
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
1
∴p= ，
2
1
̂(cid:3)
∴当 P=1时，p的值为 ，
2
̂(cid:3) PO
当P= =2时，
PA
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
2
∴p= ，
3
当点P在点A的右侧，∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
2
̂(cid:3)
∴当 P=2时，p的值为：2或 ，
3
̂(cid:3) PO
当P= =3时，
PA
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
3
∴p= ，
4
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
3
∴p= ，
2
3 3
̂(cid:3)
∴当 P=3时，p的值为： 或 ，
4 2
̂(cid:3) PO
当P= =4时，
PA
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
4
∴p= ，
5
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
4
∴p= ，
3
4 4
̂(cid:3)
∴当 P=4时，p的值为： 或 ，
5 3
…
̂(cid:3) PO
当P= =99时，
PA
∴PO＝99PA，当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
99
∴p= ，
100
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
99
∴p= ，
98
99 99
̂(cid:3)
∴当 P=99时，p的值为： 或 ，
100 98
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
3 1 4 2 5 3 100 98
2+ + + + + + +...+ +
2 2 3 3 4 4 99 99
3 1 4 2 5 3 100 98
＝2+（ + ）+（ + ）+（ + ）+...+（ + ）
2 2 3 3 4 4 99 99
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
所以答案是：198．
2．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P
是“点M到点N的k倍分点”．
1
例如：如图，点Q ，Q ，Q 在同一条直线上，Q Q ＝3，Q Q ＝6，则点Q 是点Q 到点Q 的
1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 3
倍分点，点Q 是点Q 到点Q 的3倍分点．
1 3 2
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
1 2
（1）点B是点A到点C的 倍分点，点C是点B到点A的 倍分点；
2 3
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 1 或 4 ；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．BA CB
试题分析：（1）通过计算 ， 的值，利用题干中的定义解答即可；
BC CA
EB
（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据 =3分别列出方程，解方
EC
程即可得出结论；
（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值
即可得出结论．
答案详解：解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，
∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．
BA 2 1
∵ = = ，
BC 4 2
1
∴点B是点A到点C的 倍分点，
2
CB 4 2
∵ = = ，
CA 6 3
2
∴点C是点B到点A的 倍分点．
3
1 2
所以答案是： ； ；
2 3
EB
（2）设这点为E，对应的数字为a，则 =3．
EC
当点E在B，C之间时，
EB
∵ = 3，
EC
x−(−2)
∴ =3，
2−x
解得：x＝1．
当点E在C点的右侧时，
EB
∵ = 3，
EC
x−(−2)
∴ =3，
x−2
解得：x＝4．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
所以答案是：1或4．（3）①点D在点B的左侧，
−2−(−4)
∵ =2，
−2−x
解得：x＝﹣3．
∴x的最小值为﹣3．
∴x的取值范围为﹣3≤x≤﹣2；
②点D在点C的右侧，
2−(−4)
∵ =2，
x−2
解得：x＝5，
∴x的最大值为5，
∴x的取值范围2≤x≤5，
综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤﹣2或2≤x≤5．
3．知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，例如：f（﹣3）＝|﹣3
﹣2|＝5，g（﹣2）＝|﹣2+3|＝1．
知识应用：
（1）若f（a）+g（b）＝0，求3a﹣5b的值；
（2）求f（a﹣1）+g（a﹣1）的最值；
知识迁移：若有理数a，b，c满足|a﹣b+c+3|＝a+b+c﹣3，且关于x的方程ax﹣2c＝2a﹣cx有无
数解，f（2b﹣4）≠0，求|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|的值．
试题分析：（1）根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式
计算即可得到结果；
（2）根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小
值即可；
知识迁移：求出a+c＝0，b＞3，再计算绝对值即可．
答案详解：解：（1）∵f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，
∴f（a）+g（b）＝|a﹣2|+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴3a﹣5b＝3×2﹣5×（﹣3）＝6+15＝21；
（2）f（a﹣1）+g（a﹣1）＝|a﹣3|+|a+2|，
∵|a﹣3|+|a+2|表示点a到3和﹣2的距离之和，
∴|a﹣3|+|a+2|≥5，∴f（a﹣1）+g（a﹣1）有最小值5；
知识迁移：整理ax﹣2c＝2a﹣cx得（a+c）x＝2（a+c），
∵方程有无数解，
∴a+c＝0，
∵|a﹣b+c+3|＝|（a+c）﹣（b﹣3）|，
当a+c≥b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝a+c﹣b+3＝a+b+c﹣3，
∴b＝3，
∴a+c≥0；
当a+c≤b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝b﹣3﹣a﹣c＝a+b+c﹣3，
∴a+c＝0，
∴b≥3；
∵f（2b﹣4）≠0，
∴|2b﹣4﹣2|≠0，
∴b≠3，
∴b＞3，
∴|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|
＝|2b+5|﹣|b+7|﹣|﹣3﹣b|
＝2b+5﹣（b+7）﹣（3+b）
＝﹣5．
4．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，O为原点，A表示的数是﹣8，C表示的数是2，B表示的
数是6．我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段OC处
产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡
数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记AB为“折坡数轴”拉直后
点A和点B的距离：即AB=AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段的长度．
（1）若点T为“折坡数轴”上一点，且TA+TB=16，请求出点T所表示的数；
（2）定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动
速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速
度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点 P出
发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下
坡到点O，然后再沿OA方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t
秒，在移动过程中：21
①点P在第 秒时回到点A；
2
22 31 34
②当t＝ 2 或 或 或 时，PQ=2PO．（请直接写出t的值）
5 5 5
试题分析：（1）首先判断出点T的位置，设T表示的数为x，根据T的位置分两种情况列出方
程求解即可；
（2）①分别根据“时间＝路程÷速度”求出点P运动的时间，再求和即可；
②分别求出点Q在运动时间，结合点P，点Q的不同位置，根据PQ=2PO列出方程求解即可．
答案详解：解：（1）∵AB=AO+OC+CB＝|﹣8|+6＝14，
而TA+TB=16，16＞AB，
∴T不在AB内，
设T表示的数为x，
当T在点A的左侧时，
TA+TB=TA+TA+AB=（﹣8﹣x）+（﹣8﹣x）+14＝16，
解得：x＝﹣9；
当T在点B的右侧时，
TA+TB=TB+TB+AB=（﹣8﹣x）+（﹣8﹣x）+14＝16，
解得：x＝7，
所以答案是：﹣9和7；
（2）①∵AO＝8，
AO 8
∴点P从A到O所需时间为：t = = =4，
1 2 2
∵OC＝2，
OC
= =
∴点P从O到C所需时间为：t 1 2，
2 ×2
2
返回时，
OC 2 1
点P从C到O所需时间为：t = = = ，
3 2×2 4 2点P从O到A所需时间为：t ＝t ＝4，
4 1
21
∴点P运动的总时间t＝t +t +t +t = ，
1 2 3 4 2
21
故点P在 秒时回到了点A，
2
21
所以答案是： ；
2
②（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时，
PQ=PO+OC+CQ＝（8﹣2t）+2+（4﹣t）＝14﹣3t，
PO＝8﹣2t，
∵PQ=2PO，
∴14﹣3t＝2（8﹣2t），
解得：t＝2；
（Ⅱ）当P在OC上，此时Q在OC上，设点Q在OC上的时间为t′，
2
a）当OP+QC＝OC，即t′+2t′＝2，即t′= 时，P、Q相遇，
3
PQ=OC﹣OP﹣QC＝2﹣t′﹣2t′，PO=t′，
由PQ=2PO得：2﹣t′﹣2t′＝2t′，
2
解得：t′= ，
5
2 22
∴t＝4+ = ；
5 5
b）当Q到达点O时，点P刚到OC的中点，并继续向上走2﹣1＝1（秒），
PQ=OP+OQ＝t′+（t′﹣1），PO=t′，
由PQ=2PO得：2t′﹣1＝2t′，
此时无解；
c）当Q在OA上，P在OC向下移动时，
PQ=OQ+OP＝（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]，PO=2﹣2×2（t′﹣2），
由PQ=2PO得，（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]＝2[2﹣2×2（t′﹣2）]，
11 31
解得：t′= ，此时，t＝4+t′= ；
5 5
（Ⅲ）当点P重新回到OA上，设P回到O点后运动时间为t″，在t″之间，点P、Q已经运动1 13
了4+2+ = （秒），
2 2
13 3
此时，Q在OA上走了 −4﹣1= ，
2 2
3 3
即OQ= ×1= ，
2 2
3
1）PQ=OQ﹣OP＝（ +t″）﹣2t″，PO=2t″，
2
3
由PQ=2PO得：（ +t″）﹣2t″＝2t″，
2
3 13 3 34
解得，t″= ，此时，t= + = ；
10 2 10 5
3
2）当P在Q右侧，超过Q后，PQ=OP﹣OQ＝2t″﹣（ +t″），PO=2t″，
2
3
由PQ=2PO得：2t″﹣（ +t″）＝4t″，
2
1
解得，t″=− （舍去），
2
22 31 34
综上所述，当t＝2或 或 或 秒时，PQ=2PO．
5 5 5
22 31 34
所以答案是：2或 或 或 ．
5 5 5
5．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段
MN的长度为线段a与b的“中距离”．
已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）．
（1）当点A表示1时，
①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB
与CH的“中距离”为 1 ；
②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 1 或﹣ 3 ．
（2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速
度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运
动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．
设运动时间为t秒．
①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 3. 5 ；
②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．
试题分析：（1）①先由点A和AB的长求得点B表示的数，然后求得AB的中点所表示的数，
再求得CH的中点所表示的数，即可得到线段AB与CH的“中距离”；
②先由①得到AB的中点所表示的数，然后设点E表示的数为x，则点F表示的数为x+6，进而
求得EF的中点的所表示的数，最后由线段AB与EF的“中距离”为2列出方程求得x的值；
（2）①先用含有t的式子分别表示点A、点B、点E、点F所表示的数，然后得到t＝2.5时点
A、B、E、F所表是的数，进而求得线段AB与EF的“中距离”；
②分情况讨论，分为点E向数轴正方向和向数轴负方向运动两种情况讨论，然后根据条件列出
方程求得t的值．
答案详解：解：（1）①∵AB＝2（点A在点B的左侧），点A表示1，
∴点B表示3，
∴线段AB的中点表示2，
∵点C表示﹣2，点H表示4，
∴线段CH的中点表示1，
∴线段AB与CH的“中距离”为2﹣1＝1，
所以答案是：1．
②由①得，线段AB的中点表示2，
设点E表示x，则点F表示x+6，
∴线段EF的中点表示x+3，
∵线段AB与EF的“中距离”为2，
∴|x+3﹣2|＝2，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴点E表示的数是1或﹣3，
所以答案是：1或﹣3．
（2）由题意得，点A表示的数为1+t，点B表示的数为3+t，当点E向数轴正方向运动时，点E表示的数为2t，点F表示的数为2t+6，
当点E与点B重合时，3+t＝2t，
解得：t＝3，
∴当点E向数轴负方向运动时，点E表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，点F表示的数为12﹣2
（t﹣3）＝18﹣2t，
①当t＝2.5时，点E向数轴正方形运动，点A表示的数为3.5，点B表示的数为5.5，点E表示
的数为5，点F表示的数为11，
∴线段AB的中点表示的数为4.5，线段EF的中点表示的数为8，
∴线段AB与EF的“中距离”为8﹣4.5＝3.5；
所以答案是：3.5．
②当点E向数轴正方向运动，即0＜t≤3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表
示的数为2t+3，
∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，
∴|2t+3﹣（2+t）|＝2，
解得：t＝1或t＝﹣3（舍）；
当点E向数轴负方向运动，即t＞3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的
数为15﹣2t，
∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，
∴|15﹣2t﹣（2+t）|＝2，
11
解得：t= 或t＝5，
3
11
∴当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，t的值为1或 或5．
3
6．我们将数轴上点P表示的数记为x ．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有x ﹣x ＝k（x ﹣
P N T M
x ），其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点
T
A，点B表示的数分别为x ＝﹣2，x ＝3．
A B
3
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝ − ；若点C是点A关于点B的“2星
2
点”，则x ＝ ﹣ 7 ；
C
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存
在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为
A'，作点B关于点Q的“3星点”，记为B'．当点Q运动时，QA'+QB'是否存在最小值？若存在，
求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）由“k星点”的定义列出方程可求解；
2a+5
（2）设点表示的数为a，点B表示的数a+5，则线段AB的中点D表示的数为 ，由“k星
2
点”的定义列出方程可求解；
（3）先求出A'，B'表示的数，可求QA'+QB'＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|，由绝对值的性质可求解．
答案详解：解：（1）∵点B是点A关于原点O的“k星点”，
∴3﹣0＝k（﹣2﹣0），
3
解得：k=− ，
2
∵点C是点A关于点B的“2星点”，
∴x ﹣3＝2×（﹣2﹣3），
C
∴x ＝﹣7，
C
3
所以答案是：− ，﹣7；
2
2a+5
（2）设点表示的数为a，点B表示的数a+5，则线段AB的中点D表示的数为 ，
2
∵点D是点A关于点O的“﹣2星点”，
2a+5
∴ −0＝﹣2×（a﹣0），
2
5
∴a=− ，
6
5
− +2
∴t 6 7，
= =
1 6
7
∴当t= ，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”；
6
（3）当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，理由如下：设点Q表示的数为y，
∵点A'是点A关于点Q的“3星点”，
∴点A'表示的数为﹣6﹣2y，
∵点B'是点B关于点Q的“3星点”，
∴点B'表示的数是9﹣2y，
∴QA'+QB'＝|﹣6﹣2y﹣y|+|9﹣2y﹣y|＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|，
当y＜﹣2时，QA'+QB'＝3﹣6y＞15，
当﹣2＜y＜3时，QA'+QB'＝15，
当y＞3时，QA'+QB'＝6y﹣3＞15，
∴当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，最小值为15．
7．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随
2
1
线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠BOC，称射
2
1
线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ 4 0 °，若∠AOB的
度数是 ，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是
α
α
．（用含 的代数式表示）
6
α
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
试题分析：（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
α
答案详解：解：（1）40°， ；
6
180
（2）射线OD与OA重合时，t= =36（秒）
5
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
1
OC是OA的伴随线时，则∠AOC= ∠COD
2
1
即 3t= （180﹣5t﹣3t）
2
90
∴t=
7
（ii）如图2，OC是OD的伴随线时，
1
则∠COD= ∠AOC
2
1
即180﹣5t﹣3t= ×3t
2
360
∴t=
19
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
1
则∠COD= ∠AOD
2
1
即5t+3t﹣180= （180﹣5t）
2
180
∴t=
7
（iv）如图4，
1
OD是OA的伴随线时，则∠AOD= ∠COD
21
即180﹣5t= （3t+5t﹣180）
2
∴t＝30
90 360 180
所以，综上所述，当t= ， ， ，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条
7 19 7
射线的伴随线．
8．如图1，对于线段AB和∠A′OB′，点C是线段AB上的任意一点，射线OC′在∠A′OB′内
AC ∠A'OC'
部，如果 = ，则称线段AC是∠A′OC′的伴随线段，∠A′OC′是线段AC的
AB ∠A'OB'
伴随角．例如：AB＝10，∠A′OB′＝100°，若AC＝3，则线段AC的伴随角∠A′OC′＝
30°．
（1）当AB＝8，∠A′OB′＝130°时，若∠A′OC′＝65，试求∠A′OC′的伴随线段AC的
长．
（2）如图2，对于线段AB和∠A′OB′，AB＝6，∠A′OB′＝120°．若点C是线段AB上任
一点，E，F分别是线段AC，BC的中点，∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段
AE，AC，AF的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），∠E′OF′的大
小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出∠E′OF′的大小．
（3）如图3，已知∠AOC是任意锐角，点M，N分别是射线OA，OC上的任意一点，连接
MN，∠AOC的平分线OD与线段MN相交于点Q．对于线段MN和∠AOC，线段MP是∠AOD
的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；
如果不能，请说明理由．试题分析：（1）根据伴随角和伴随线段的定义定义列出等式即可求解；
1
（2）由中点的定义可得EF= AB，再利用伴随角和伴随线段的定义列出等式，可得出结论；
2
（3）由伴随角和伴随线段的定义可得，点P和点Q重合时，是MN的中点，画出图形，测量即
可．
AC ∠A'OC'
答案详解：解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知， = ，
AB ∠A'OB'
AC 65° 1
∴ = = ，
8 130° 2
∴AC＝4．
（2）不会，∠E′OF′＝60°．理由如下：
∵点E，F分别是线段AC，BC的中点，
1 1
∴EC= AC，CF= BC，
2 2
1
∴EF= AB＝3．
2
∵∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，
AE ∠A'OE' AC ∠A'OC' AF ∠A'OF'
∴ = ， = ， = ，
AB ∠A'OB' AB ∠A'OB' AB ∠A'OB'
∵EF＝AF﹣AE，
EF AF AE ∠A'OF' ∠A'OE' ∠E'OF' 1
∴ = − = − = = ，
AB AB AB ∠A'OB' ∠A'OB' ∠A'OB' 2∵∠A′OB′＝120°，
∴∠E′OF′＝60°．
（3）能，理由如下：
∵OD是∠AOC的平分线，
1
∴∠AOD= ∠AOC，
2
∵线段MP是∠AOD的伴随线段，
MP ∠AOD 1
∴ = = ．即点P是MN的中点．
MN ∠AOC 2
若点P和点Q重合，则点Q为MN的中点．
根据题意画出图形如下所示：
测量得出当点P和点Q重合时，NP＝MQ＝1.25cm．
二．数形结合之数轴与方程（经典题型）
9．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，例如：点A，B在数轴上分别
对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
根据以上知识解决问题：
（1）如图1所示，在数轴上点E，F表示的数分别为﹣5，3，则EF＝ 8 ；
（2）①如图2所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，且MN＝2PM，求：
点P和点N表示的数．
5
②在上述①的条件下，数轴上是否存在点Q．使PQ+QN= QM？若存在，请直接写出点Q所
2
表示的数；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）由点E，F表示的数分别为﹣5，3，可得EF＝|﹣5﹣3|＝8；
（2）①由点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，得MN＝2x+16，PM＝﹣2﹣x，
即得2x+16＝2（﹣2﹣x），可解得P表示的数是﹣5，N表示的数是4；
5
②设Q表示的数是m，分四种情况：当 Q在P左侧时，（﹣5﹣m）+（4﹣m）= （﹣2﹣
2
5 28
m），解得m＝﹣8，当Q在P、M之间，（m+5）+（4﹣m）= （﹣2﹣m），解得m=−
2 5
5 8
（不合题意，舍去），当Q在M、N之间，（m+5）+（4﹣m）= （m+2），解得m= ，当Q
2 5
5
在N右侧，（m+5）+（m﹣4）= （m+2），解得m＝﹣8（不合题意，舍去）．
2
答案详解：解：（1）∵点E，F表示的数分别为﹣5，3，
∴EF＝|﹣5﹣3|＝8，
所以答案是：8；
（2）①∵点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，
∴MN＝（2x+14）﹣（﹣2）＝2x+16，PM＝﹣2﹣x，
∵MN＝2PM，
∴2x+16＝2（﹣2﹣x），
解得x＝﹣5，
∴2x+14＝2×（﹣5）+14＝4，
答：P表示的数是﹣5，N表示的数是4；
②设Q表示的数是m，
当Q在P左侧时，PQ＝﹣5﹣m，QN＝4﹣m，QM＝﹣2﹣m，
5
∵PQ+QN= QM，
25
∴（﹣5﹣m）+（4﹣m）= （﹣2﹣m），
2
解得m＝﹣8，
当Q在P、M之间，PQ＝m+5，QN＝4﹣m，QM＝﹣2﹣m，
5
∵PQ+QN= QM，
2
5
∴（m+5）+（4﹣m）= （﹣2﹣m），
2
28
解得m=− （不合题意，舍去），
5
当Q在M、N之间，PQ＝m+5，QN＝4﹣m，QM＝m+2，
5
∵PQ+QN= QM，
2
5
∴（m+5）+（4﹣m）= （m+2），
2
8
解得m= ，
5
当Q在N右侧，PQ＝m+5，QN＝m﹣4，QM＝m+2，
5
∵PQ+QN= QM，
2
5
∴（m+5）+（m﹣4）= （m+2），
2
解得m＝﹣8（不合题意，舍去），
8
综上所述，Q表示的数是﹣8或 ．
5
10．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是﹣20和10，P，Q两点同时从原点出发，P以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，Q以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当
点Q到达点B后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点P到达点A时，P，Q两点同时停
止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，线段PQ＝ 7 ；
（2）当PQ＝5时，求t的值；
（3）在P，Q两点运动的过程中，若点A，点P，点Q三点中的一个点是另外两个点为端点的
线段的中点，直接写出t的值．试题分析：（1）根据数轴上两点间距离公式可得；
（2）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，分别列出方程可得答案；
（3）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，再根据线段中点的定义可得答案．
答案详解：解：（1）t＝1时，点P表示的数是﹣2，点Q表示的数是5，
∴PQ＝5﹣（﹣2）＝7，
所以答案是：7；
（2）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是5t，
5
则5t﹣（﹣2t）＝5，解得t= ；
7
当2＜t≤10时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是10﹣（5t﹣10）＝20﹣5t，
25
则|（20﹣5t）﹣（﹣2t）|＝5，解得t＝5或 ；
3
5 25
所以当PQ＝5时，t的值是 或5或 ；
7 3
（3）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是5t，点A表示的数是﹣20，
若点P是线段AQ的中点，
则PA＝PQ，﹣2t+20＝5t+2t，
20
解得t= ＞2，故不存在此情况；
9
当2＜t≤10时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是10﹣（5t﹣10）＝20﹣5t，点A表示的数
是﹣20，
若点P是线段AQ的中点，
则PA＝PQ，﹣2t+20＝20﹣5t+2t，
解得t＝0，故不存在此情况；
若点Q是线段AP的中点，
则QA＝PQ，20﹣5t+20＝﹣2t﹣20+5t，
解得t＝7.5．
60
当A是PQ的中点时，2t﹣20＝30﹣5（t﹣2），t= ，
7
60
综上，t的值是7.5或 ．
711．规定：A，B，C是数轴上的三个点，当CA＝3CB时我们称C为[A，B]的“三倍距点”，当CB
＝3CA时，我们称C为[B，A]的“三倍距点”．点A所表示的数为a，点B所表示的数为b且
a，b满足（a+3）2+|b﹣5|＝0．
（1）a＝ ﹣ 3 ，b＝ 5 ；
（2）若点C在线段AB上，且为[A，B]的“三倍距点”，则点C所表示的数为 3 ；
（3）点M从点A出发，同时点N从点B出发，沿数轴分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位
长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当点B为M，N两点的“三倍距点”时，求t的值．
试题分析：（1）根据非负性的性质．即可求得a，b的值；
（2）根据“三倍距点”的定义即可求解；
（3）分点B为[M，N]的“三倍距点”和点B为[N，M]的“三倍距点”两种情况讨论即可．
答案详解：解：（1）∵（a+3）2+|b﹣5|＝0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
所以答案是：﹣3；5；
（2）∵点A所表示的数为﹣3，点B所表示的数为5，
∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，
∵点C为[A，B]的“三倍距点”，点C在线段AB上，
∴CA＝3CB，CA+CB＝AB＝8，
∴CB＝2，
∴点C所表示的数为5﹣2＝3，
所以答案是：3；
（3）根据题意可知：点M所表示的数为3t﹣3，点N所表示的数为t+5，
∴BM＝|5﹣（3t﹣3）|＝|8﹣3t|，BN＝|t+5﹣5|＝t，（t＞0），
当点B为[M，N]的“三倍距点”时，
即BM＝3BN，
∴|8﹣3t|＝3t，
∴8﹣3t＝3t或8﹣3t＝﹣3t，
4
解8﹣3t＝3t，得：t= ，
3
而方程8﹣3t＝﹣3t，无解，
当点B为[N，M]的“三倍距点”时，即3BM＝BN，
∴3|8﹣3t|＝t，
∴24﹣9t＝t或24﹣9t＝﹣t，
12
解得：t= 或t＝3，
5
12 4
综上所述，当t= 或t＝3或t= 时，点B为M，N的“三倍距点”．
5 3
12．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，且a，b满足（a﹣120）2+|
4b﹣a|＝0．
（1）a＝ 12 0 ，b＝ 3 0 ；
（2）如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；
（3）线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以3cm/s的速度沿射线BA的方向
运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，点P原路
返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P同时停止运动，
设运动时间为ts，在此运动过程中，当t为多少s时线段PC＝10cm？
试题分析：（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出a，b的值；
1 1 1 1 1 1
（2）由中点的定义得AM= AD= （AC+CD）= （AC+30）= AC+15）、CN= BC= （AB
2 2 2 2 2 2
1 1
﹣AC）= （120﹣AC）＝60− AC，由MN＝CN﹣CM即可求解；
2 2
（3）分两种情况：①点P与点D相遇前，②点P与点D相遇后，每种情况再分点P在点C左
边，点P在点C右边解答即可．
答案详解：解：（1）∵a，b满足（a﹣120）2+|4b﹣a|＝0，
∴a﹣120＝0，4b﹣a＝0，
∴a＝120，b＝30．
所以答案是：120；30；
（2）∵M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
1 1 1 1
∴AM= AD= （AC+CD）= （AC+30）= AC+15，
2 2 2 21 1 1 1
CN= BC= （AB﹣AC）= （120﹣AC）＝60− AC，
2 2 2 2
1 1
∴CM＝AM﹣AC= AC+15﹣AC＝15− AC，
2 2
1 1 1 1
∴MN＝CN﹣CM）＝60− AC﹣（15− AC）＝﹣60− AC﹣15+ AC＝45（cm）；
2 2 2 2
（3）由题意得：点P与点D相遇的时间为120÷（3+3）＝20（s），
点C到达点A的时间为（120﹣30）÷3＝30（s），
①点P与点D相遇前，即t＜20时，
Ⅰ点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC+CD＝10+30＝40（cm），
由题意得：（3+3）t＝120﹣40，
40
解得：t= ，
3
Ⅱ点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD﹣PC＝30﹣10＝20（cm），
由题意得：（3+3）t＝120﹣20，
50
解得：t= ，
3
②点P与点D相遇后，即20≤t≤30时，
Ⅰ点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC+CD＝10+30＝40（cm），
由题意得：（3×2﹣3）（t﹣20）＝40，
100
解得：t= ＞30（不合题意，舍去），
3
Ⅱ点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD﹣PC＝30﹣10＝20（cm），
由题意得：（3×2﹣3）（t﹣20）＝20，
80
解得：t= ，
3
40 50 80
综上，当t为 s或 s或 s时线段PC＝10cm．
3 3 3
13．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，数轴上有一点C，且AC＝2CB，a、b满足|a+4|+（b﹣11）2＝0．
（1）a＝ ﹣ 4 ，b＝ 1 1 ；
（2）求点C表示的数；
（3）点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以
每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若AP+BQ＝2PQ，求t的值．
试题分析：（1）根据非负数的性质列方程，分别求出a、b的值即可；
（2）设点C表示的数为x，分三种情况进行讨论，一是点C在点A与点B之间，二是点C在点
B的右侧，三是点C在点A的左侧，对符合题意的情况列方程求出x的值，对不符合题意的情况
直接舍去即可；
（3）先根据题意得AP＝4t，BQ＝3t，则点P表示的数是﹣4+4t，点Q表示的数是11﹣3t，再按
点P在点Q左侧和点P在点Q右侧分别列方程求出t的值即可．
答案详解：解：（1）∵|a+4|≥0，（b﹣11）2≥0，且|a+4|+（b﹣11）2＝0，
∴|a+4|＝0，（b﹣11）2＝0，
∴a＝﹣4，b＝11，
所以答案是：﹣4，11．
（2）设点C表示的数为x，
若点C在A、B两点之间，则x+4＝2（11﹣x），
解得x＝6；
若点C在点B的右侧，则x+4＝2（x﹣11），
解得x＝26；
若点C在点A的左侧，则CA＜CB，
∴不存在CA＝2CB的情况，
综上所述，点C表示的数是6或26．
（3）由题意可知，AP＝4t，BQ＝3t，
∴点P表示的数是﹣4+4t，点Q表示的数是11﹣3t，
当点P在点Q左侧时，则4t+3t＝2[11﹣3t﹣（﹣4+4t）]，
10
解得t= ；
7
当点P在点Q右侧时，则4t+3t＝2[﹣4+4t﹣（11﹣3t）]，30
解得t= ，
7
10 30
综上所述，t的值为 或 ．
7 7
三．数形结合之角的动边与方程（超难题型）
1
14．如图，∠AOD＝130°，∠BOC：∠COD＝1：2，∠AOB是∠COD补角的 ．
3
（1）∠COD＝ 60 ° ；
（2）平面内射线OM满足∠AOM＝2∠DOM，求∠AOM的大小；
（3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停
止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ+∠AOD
＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．
试题分析：（1）设∠BOC＝ ，则∠COD＝2 ，由此可表达∠AOB的度数，最后根据角度的和
差计算建立方程，求解即可；α α
（2）需要分两种情况，一种是射线OM在∠AOD的内部，一种是射线OM在∠AOD的外部，
根据角度的和差关系建立方程，求解即可；
（3）本题需要分类讨论，当射线OB与射线OQ重合前，射线OP与射线OQ重合前，射线OA
与射线OP重合前，射线OP与射线OD重合后，由此得出t的取值范围分别是0≤t≤40，40＜
t≤45，45＜t≤50，50＜t≤55，55＜t≤65．画出图形分别表示∠AOD和∠POQ，建立方程求出t
的值．
答案详解：解：（1）设∠BOC＝ ，则∠COD＝2 ，
1 α α
∵∠AOB是∠COD补角的 ，
3
1 2
∴∠AOB= （180°﹣2 ）＝60°− ，
3 3
α α
2
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝∠AOD，即60°− + +2 ＝130°，
3
α α α解得 ＝30°，
∴∠CαOD＝2 ＝60°；
所以答案是：α60°；
（2）由于射线OM的位置不确定，所以需要分两种情况：
①射线OM在∠AOD的内部，如图1：
∵∠AOM＝2∠DOM，∠AOD＝130°，
∴∠AOM+∠DOM＝∠AOD，即3∠DOM＝130°，
130
∴∠DOM＝（ ）°，
3
260
∴∠AOM＝2∠DOM＝（ ）°；
3
②射线OM在∠AOD的外部，如图2：
∵∠AOM＝2∠DOM，∠AOD＝130°，
∴∠AOM+∠DOM＝360°﹣∠AOD，即3∠DOM＝360°﹣130°，
230
∴∠DOM＝（ ）°，
3
460
∴∠AOM＝2∠DOM＝（ ）°；
3
260 460
综上，∠AOM的度数为：（ ）°或（ ）°；
3 3
（3）由（1）知，∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∠COD＝60°；
∵射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，
∴∠AOP＝∠BOP＝20°，∠COQ＝∠COQ＝30°，
当射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转时，∠AOD＝130°﹣2°t，
当射线OB与射线OQ重合前，即0≤t≤30，如图3，此时∠POQ＝∠AOD﹣∠AOP﹣∠DOQ＝130°﹣2°t﹣20°﹣30°＝80°﹣2°t，
∴∠POQ+∠AOD＝80°﹣2°t+130°﹣2°t＝210°﹣2°t，不是50°，不符合题意；
射线OB与射线OQ重合后，射线OP与射线OQ重合前，即30＜t≤40时，如图4，
此时∠BOD＝90°﹣2°t，
∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝30°﹣（90°﹣2°t）＝2°t﹣60°，
∴∠POQ＝∠BOP﹣∠BOQ＝20°﹣（2°t﹣60°）＝80°﹣2°t；
此时∠POQ+∠AOD＝80°﹣2°t+130°﹣2°t+＝210°﹣4°t，不是50°，不符合题意；
射线OP与射线OQ重合后，射线OB与射线OD重合前，即40＜t≤45时，如图5，
此时∠BOD＝90°﹣2°t，
∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝30°﹣（90°﹣2°t）＝2°t﹣60°，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；
此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；
射线OB与射线OD重合后，射线OA与射线OQ重合前，即45＜t≤50时，如图6，
此时∠BOD＝2°t﹣90°，
∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；
此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；
射线OA与射线OQ重合后，射线OP与射线OD重合前，即50＜t≤55，如图7，
此时∠BOD＝2°t﹣90°，
∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；
此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；
射线OP与射线OD重合后，射线OA与射线OD重合前，即55＜t≤65时，如图8，
此时∠BOD＝2°t﹣90°，
∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；
此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；
综上可知，当∠POQ+∠AOD＝50°时，旋转时间t（秒）的取值范围为40≤t≤65．
15．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、
∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含 ， 式子表
示）． α β α β
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB
到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表
示）．
试题分析：（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON
的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结
合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；
（3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解BM，BN的度数，结合MN＝BM+BN可
求解；
答案详解：解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°，
∵OM平分∠AOC，
1
∴∠MOC＝∠MOA= ∠AOC＝80°，
2
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°；
（2）∵∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，
∴∠AOC＝∠AOBα+∠BOC＝ β+ ，
∵OM平分∠AOC， α β
1 1
∴∠MOC＝∠MOA= ∠AOC= （ + ），
2 2
α β
1 1 1
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝ − （ + ）= − ，
2 2 2
α α β α β
∵ON平分∠BOC，
1
∴∠BON＝∠CON= ，
2
β
1 1 1 1
∴∠MON＝∠BOM+∠BON= α− β+ β= α，
2 2 2 2
α
故∠MON= ；
2
（3）∵AB＝a，BC＝m，
∴AC＝AB+BC＝a+m，
∵M是AC中点，
1 a+m
∴MC= AC= ，
2 2
∵N是BC中点，1 m
∴NC= BC= ，
2 2
a+m m a
∴MN＝MC﹣NC= − = ．
2 2 2
16．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
1
（2）若∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
14
1
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT= ∠NOT或者∠NOT
2
1
= ∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O
2
按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方
向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为
两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．
试题分析：（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）设∠AOD＝x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的
度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．
答案详解：解：（1）OC平分∠AOD，
1
∴∠COD＝∠AOC= ∠AOD．
2
∵∠COD＝60°，
∴∠AOD＝2∠COD＝120°；
1
（2）设∠AOD＝x，则∠BOC= x．
14
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝150°﹣∠BOC．
1
∴x＝150− x．
14
解得：x＝140°．
∴∠AOD的度数为140°．
（3）当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，
∠QOP＝90°﹣∠AOQ﹣∠BOP＝90°﹣21t．
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
1
∴∠QOP= ∠AOP．
2
1
∴90°﹣21t= （90°﹣12t）．
2
解得：t＝3．
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，
∠QOP＝∠BOP﹣∠BOQ＝∠BOP﹣（90°﹣∠AOQ）＝21t﹣90°．∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
1 1
∴∠QOP= ∠AOP或∠AOP= ∠QOP．
2 2
1 1
∴21t﹣90°= （90°﹣12t）或90°﹣12t= （21t﹣90）．
2 2
解得：t＝5或t＝6．
当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，
1
由于∠AOP≠ ∠QOP，
2
∴此时射线OP不可能为两条射线OA和OQ的“和谐线”．
当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝12t﹣90°，
∠QOP＝360°﹣∠AOP﹣∠AOQ＝450°﹣21t．
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
1
∴∠AOP= ∠QOP．
2
1
∴12t﹣90°= （450°﹣21t）．
2解得：t＝14．
综上所述，在0＜t＜15时，当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值为3或5或6
或14．
17．如图1，OA⊥OB，∠COD＝60°．
3
（1）若∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
7
（2）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（3）如图2，射线OB与OC重合，若射线OB以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，同时射线
OC以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时停止运动．设旋转的时间为t
秒，请直接写出图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值．
试题分析：（1）根据角的和差表示出∠BOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（∠AOD﹣90°）＝150°﹣
∠AOD，由已知条件可得方程，解方程即可得∠AOD的度数；
（2）根据角平分线的定义得∠AOC＝∠COD＝60°，∠AOD的度数，根据角的和差可得∠BOD
的度数，即可求得∠BOC的度数；
（3）根据题意求出OB与OA重合时，OC与OD也重合，此时停止运动，然后分三种情况讨论
即可求解．
答案详解：解：（1）∵∠COD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣∠BOD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣90°，
∴∠BOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（∠AOD﹣90°）＝150°﹣∠AOD，
3
∵∠BOC= ∠AOD，
7
3
∴150°﹣∠AOD= ∠AOD，
7解得：∠AOD＝105°，
故∠AOD的度数是105°；
（2）∵OC平分∠AOD，∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝60°+60°＝120°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°，
故∠BOC的度数是30°；
（3）根据题意，可得：
∠AOD＝90°+60°＝150°，
∠AOB＝90°﹣15°t，
∠AOC＝90°+10°t，
当OB与OA重合时，∠AOB＝0°，
即0°＝90°﹣15°t，解得：t＝6，
此时，∠AOC＝90°+10°t＝90°+10°×6＝150°＝∠AOD，即OC与OD重合，
∴当OB与OA重合时，OC与OD也重合，此时停止运动，
∴分三种情况讨论：
①当OB平分∠AOD时：
1 1
∵∠AOB= ∠AOD= ×150°＝75°，
2 2
∴90°﹣15°t＝75°，
解得：t＝1；
②当OC平分∠BOD时：
∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝（90°+10°t）﹣（90°﹣15°t）＝25°t，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝150°﹣（90°+10°t）＝60°﹣10°t，
12
解得：t= ；
7
③当OB平分∠AOC时：
由②知，∠BOC＝25°t，
∵∠AOB＝∠BOC，
∴90°﹣15°t＝25°t，9
解得：t= ．
4
12 9
综上，图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值为1或 或 ．
7 4
18．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD
与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB＝45°，∠DPC＝30°），将三
角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，
设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 9 0 度；
（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针
旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN＝180°．
①用含t的代数式表示：∠NPD＝ （ 5 t ） ° ；∠MPB＝ （ 1 5 t +45 ） ° ；当t为何值时，
∠BPC＝5°？
②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结
15
束止，经过的时间t为 秒．
4
试题分析：（1）当t＝3秒时，计算出BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①分PB与PC相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；②当PA与PD重合时，即PA与
PD共旋转了75°，即可解答．
答案详解：解：（1）当t＝3秒时，由旋转可知：边BP旋转的角度为：15°×3＝45°，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数为：180°﹣（45°+3×15°）＝90°，
所以答案是：90°；
（2）①∵三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠NPD＝（5t）°，
∵∠APB＝45°，
∴∠MPB＝∠MPA+∠APB＝（15t）°+45°＝（15t+45）°，
所以答案是：（5t）°，（15t+45）°，
在三角尺ABP和三角尺PCD旋转前，∠BPC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
现在∠BPC＝5°，分两种情况：
PB与PC相遇前，则：
15t+5t＝105﹣5，
解得：t＝5，
PB与PC相遇后，则：
15t+5t＝105+5，
解得：t＝5.5，
∴当t为秒5或5.5秒时，∠BPC＝5°；
②∵∠APB＝45°，∠CPD＝30°，
∴当PB与PC重合时，∠APD＝45°+30°＝75°，
当PA与PD重合时，即PA与PD共旋转了75°，
∴15t+5t＝75，
15
∴t= ，
4
15
所以答案是： ．
4
1
19．如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少10°．
2（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射
线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时
针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射
∠DOE+∠BOC 7
线OE处（OE在∠DOC的内部）时， = ，求x的值．（注：本题中所涉及
∠COE 2
的角都是小于180°的角）
1
试题分析：（1）根据“∠BOC的余角比它的补角的 少10°”建立方程，求解即可．
2
（2）根据射线OP的运动可知，需要分两种情况，和OC相遇前，和OC相遇后，分别列出方程
求解即可．
（3）当两射线重合时，可分别求出∠DOE，∠BOC，∠COE，根据给出的等式建立方程，求解
即可．
1
答案详解：解：（1）根据题意可知，90°﹣∠BOC= （180°﹣∠BOC）﹣10°，
2
解得∠BOC＝20°；
（2）设旋转时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝4°t，
当OP到达OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，
∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；
当OP到达OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，
∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；
∴当∠POC＝10°时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．
（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，
设相遇时，旋转的时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，
∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，∠BOD＝4°t+x°t＝90°，
∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，
∠DOE+∠BOC 7
∵ = ，
∠COE 2
∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，
解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，
∴4°×10+10•x°＝90°，解得x＝5．
20．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
（1）若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及
∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆
时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回
到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此
120 40 840
时t的值为 或 或 （直接写出答案）．
13 3 13
试题分析：（1）由∠AOD和∠BOC互为补角，∠AOD＝2∠BOC，可得3∠BOC＝180°，进而
求解．
（2）设∠BOC＝ ，则∠AOD＝2 ，由余角的定义可知，∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝
180°，所以∠AOBα+∠COD＝∠AOαD﹣∠BOC＝2 ﹣ ＝ ，∠DOM+∠AON＝180°﹣ ，则
∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°﹣ + ＝180°． α α α α
α α（3）根据射线的运动，需要分三种情况讨论：①OB到达OE前，②当射线OC到达射线OE
后，③当射线OB旋转一周后，建立等式，求解即可．
答案详解：解：（1）∵∠AOD和∠BOC互为补角，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴3∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝120°．
（2）∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°，
设∠BOC＝ ，则∠AOD＝2 ，
∵∠DOM和α∠AON分别是∠αCOD和∠AOB的余角，
∴∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝∠AOD﹣∠BOC＝2 ﹣ ＝ ，
∠DOM+∠AON＝180°﹣ ， α α α
∴∠DOM+∠AON+∠BOCα＝180°﹣ + ＝180°．
（3）①OB到达OE前，如图3①α，α
由点的运动可知，∠AOB＝6°t，∠DOC＝5°t，
∴∠BOC＝120°﹣6°t﹣5°t＝120°﹣11°t，∠BOE＝60°﹣6°t，∠COE＝60°﹣5°t，
120
由题意可知，120°﹣11°t＝4（60°﹣6°t），解得t= ，
13
②当射线OC到达射线OE后，如图3②，
此时，∠COE＝5°t﹣60°，∠BOE＝6°t﹣60°，
则∠BOC＝∠COE+∠BOE＝11°t﹣120°，
40
根据题意可知，4（5°t﹣60°）＝11°t﹣120°，解得t= ；
3
③当射线OB旋转一周后，如图3③，此时，∠COE＝360°﹣5°t+60°＝420°﹣5°t，∠BOE＝60°﹣（6°t﹣360°）＝420°﹣6°t，
∴∠BOC＝∠COE+∠BOE＝840°﹣11t，
840
根据题意得，4（420°﹣6°t）＝840°﹣11t，解得t= ．
13
120 40 840
所以答案是： 或 或 ．
13 3 13
