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班级 姓名 学号 分数
第二十八章 锐角三角函数(B 卷·能力提升练)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。)
1．(2022·内蒙古通辽·中考真题)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 ， ， 都在格点上，
以 为直径的圆经过点 ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ 为直径， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴故选：B．
2．(2022·广西贵港·中考真题)如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若
的顶点均是格点，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ,
在 中， ,
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：C．
3．(2022·辽宁营口·中考真题)如图，点A，B，C，D在 上， ，则 的长
为( )A． B．8 C． D．4
【答案】A
【详解】解：连接 ，
，
，
为 的直径，
，
，
在 中,
，
．.
故选：A．
4．(2022·四川乐山·中考真题)如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接BD．
若 ， ，则CD的长为( )A． B．3 C． D．2
【答案】C
【详解】解：在 中， ， ，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作 于点E，如图，
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴∴ ,
在 中,
∴
∵
∴
故选：C
5．(2022·贵州毕节·中考真题)计算 的结果，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
＝
＝
＝ ．
故选：B
6．(2022·广西·中考真题)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，
则高BC是( )
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A【详解】解：在Rt ACB中，∠ACB=90°，
△
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα(米)，
故选：A．
7．(2022·贵州黔东南·中考真题)如图， 、 分别与 相切于点 、 ，连接 并延长与 交于点
、 ，若 ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接OA
∵ 、 分别与 相切于点A、 ，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在 APD和 BPD中，
△ △
，
∴ APD≌ BPD(SAS)
∴△∠ADP=∠△BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP= ，
∴sin∠ADB= ．
故选A．
8．(2022·陕西·中考真题)如图， 是 的高，若 ， ，则边 的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵直角 中， ，
∴ ，
∴直角 中，由勾股定理可得， ．
故选D．
9．(2022·湖南湘潭·中考真题)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形
拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个
直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则 ( )A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为 ，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a=1，a=-2(不符合题意，舍去)，
1 2
= = =2，
故选：A．
10．(2022·天津·中考真题) 的值等于( )
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义， ，
∵∠A=45°，
∴ ，
故选 B．
二．填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分。)
11．(2022·宁夏·中考真题)2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，
某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已
知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为
______米(精确到 米)．(参考数据： ， ， )
【答案】1614
【详解】解：在 中，由勾股定理得，
(米)，
，， ，
∴ CDE是等腰直角三角形，
△ ，
设 米，
则 米， 米，
．
∴ ，
解得 ，
米，
故答案为： ．
12．(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔30海里
的 处，它沿北偏东 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏东 方向上的 处，此时与灯塔
的距离约为________海里．(参考数据： ， ， )
【答案】50
【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴ ，
∴BP= ，
故答案为：50．
13．(2022·湖北黄石·中考真题)某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为
30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯
角为60°，则旗杆的高度约为________m．(参考数据： ，结果按四舍五八保留一位小数)
【答案】12.7
【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，
解得
则 m，
在Rt△ADE中， ，
解得 m，
∴CD=CE-DE ．
故答案为：12.7．
14．(2022·江苏南通·中考真题)如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为 ，在B处放置
高的测角仪 ，测得树顶A的仰角为 ，则树高 为___________m(结果保留根号)．
【答案】
【详解】解：过点D作 交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知： ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
15．(2022·山东枣庄·中考真题)北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如
图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝
_____．
【答案】
【详解】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝ ，
故答案为： ．
16．(2022·湖北荆门·中考真题)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，
它沿正南方向以50 海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t
＝_____小时．
【答案】(1+ )
【详解】由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100× ＝50 (海里)，
PC＝AP•sin45°＝100× ＝50 (海里)，
在Rt△BCP中，BC＝ ＝ ＝50 (海里)，
∴AB＝AC+BC＝(50 +50 )海里，
∴t＝ ＝(1+ )小时，
故答案为：(1+ )．
三．解答题(本题共6小题，共46分。)
17．(2022·四川攀枝花·中考真题)第24届冬奥会(也称2022年北京冬奥会)于2022年2月4日至2月20日在
中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奧会上跳台滑雪是一
项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某
运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 的跳台A点以速度 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力
影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆， ，且 ．忽略空气
阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【详解】(1)解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作 轴于点D．
在 中， ，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
(2)解：在 中， ，
，
由题意抛物线顶点为 ，经过 ．
设抛物线的解析式为 ，
则有 ，
，抛物线的解析式为 ．
(3)解：当 时， ，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
18．(2022·江苏淮安·中考真题)如图，湖边 、 两点由两段笔直的观景栈道 和 相连.为了计算 、
两点之间的距离，经测量得： ， ， 米，求 、 两点之间的距离．(参考
数据： ， ， ， ， ， )
【答案】 、 两点之间的距离约为94米
【详解】如图，过点 作 ，垂足为点 ，
在 中，
∵ ， 米，
∴ ， ，
∴ (米)，
(米)，
在 中，∵ ， 米，
∴ ，
∴ (米)，
∴ (米).
答： 、 两点之间的距离约为94米.
19．(2022·江苏淮安·中考真题)(1)计算： ；
(2)化简： ．
【答案】(1) ；(2)
【详解】解：(1)原式
；
(2)原式
．
20．(2022·辽宁阜新·中考真题)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度
，在居民楼前方有一斜坡，坡长 ，斜坡的倾斜角为 ， ．小文在 点处测得楼顶端
的仰角为 ，在 点处测得楼顶端 的仰角为 (点 ， ， ， 在同一平面内)．(1)求 ， 两点的高度差；
(2)求居民楼的高度 ．(结果精确到 ，参考数据： )
【详解】(1)解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中， ， ，
．
．
答： ， 两点的高度差为 ．
(2)过点 作 于 ，
由题意可得 ， ，
设 ，
在 中， ，
解得 ，
在 中， ， ，，
解得 ，
．
答：居民楼的高度 约为 ．
21．(2022·山东东营·中考真题)胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天
堑变通途”.已知主塔 垂直于桥面 于点B，其中两条斜拉索 与桥面 的夹角分别为 和
，两固定点D、C之间的距离约为 ，求主塔 的高度(结果保留整数，参考数据：
)
【答案】主塔 的高度约为78m．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt ABD中， ，
△
在Rt ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝△BC，
∴ ，
∴ m，
∴AB＝BC＝ m，答：主塔 的高度约为78m．
