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专题11.1 三角形 重难点题型11个
重难点题型
题型1 三角形三边关系及其运用
性质：两边之差的绝对值<第三边<两边之和
解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边是否能构成
三角形。（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。最后，也需验证三边是否
能构成三角形。（3）遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一
个三角形中，利用三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边解题.
1．（2022·淮北市八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（2022·上海徐汇·七年级期中）其中两条边长分别为 和4，第三条边长为整数的三角形共有____个．
3．（2022·云南红河·八年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3、4，第三边最长且为偶数，则此三角
形的第三边长是______．
4．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其
中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破
坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7 B．10 C．11 D．14
5．（2022·安徽·淮南市八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝
________．
6.（2022•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图 ，在△ABC中，
P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）①中点P移到△ABC内，得图 ，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两
个点P 、②P 得图 ，试观察比较四边形BP P C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
1 2 1 2
③
题型2 中线与三角形面积（周长）
性质：（1）三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分
（2）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；
（3）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；
（4）等底等高的两个三角形面积相等。
解题技巧：（1）明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。题目中往往会出现
多个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积，直至求解出题干要求的面积。
（2）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平
行的线段上的点（等高）；（3）两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。
1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在 中， ， ， 为中线，则
与 的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·广西·八年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中
点，且△ABC的面积是 ，则阴影部分面积等于（ ）A． B． C． D．
3．（2022·江苏·泰兴市洋思中学七年级阶段练习）如图，在 中， 是边 上任意一点， 、 、
分别是 、 、 的中点， ，则 的值为______．
4．（2022·四川遂宁初一期末）如图，在 中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，
BE，CF交于一点G， ， ， ，则 的面积是（ ）
A．42 B．48 C．54 D．60
5．（2022·枣庄市市中区实验中学初一月考）如图， 是 的中线， ， ，
的周长和 的周长差为( )A．6 B．3 C．2 D．不确定
6．（2022·上海闵行初一期中）如图，对面积为 的 逐次进行操作：第一次操作，分别延长 、
、 至点 、 、 ，使得 ， ， ，顺次连接 、 、 ，得到
，记其面积为 ；第二次操作，分别延长 、 、 至点 、 、 ，使得
、 、 ，顺次连接 、 ，得到 ，记其面积为 ， ，
按此规律继续下去，可得到 ，则其面积 ________．
7．（2022·西安市铁一中学九年级模拟）如图，△ABC的面积是21，点D、E、F分别在边BC、AB、
AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD与四边形DFEB面积相等，则△ADC的面积＝_____．
题型3 高线与三角形面积
性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变
注：求面积时，底边和高必须对应解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。利用个等式，
可求出三角形中某些不太方便求解的边。
1．（2021·内蒙古林西?初二期末）如图，在 中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于
点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川凉山初三期末）如图，在 ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且
AD≠BC，连结BD交AC于点O，连结CD△，设 ABO、 ADO、 CDO和 BCO的面积分别为
S 、S 、S 和S ,则下列说法不正确的是（ △） △ △ △
1 2 3 4
A．S =S B．S +S =S +S C．S +S =S +S D．S +S =S +S
1 3 1 2 3 2 1 4 3 4 1 2 3 4
3．（2021·江苏海安?初一月考） ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则
∠BAC=___________． △
4．（2021·哈尔滨市第六十九中学校初一期中）如图， 是 的高，
，则 _____________．5．（2021·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE
＝3cm．（1）求△ABC的面积；（2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长．
6．（2021·云南昭通·八年级期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝
9cm．
（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．
题型4 直角三角板中的求角度问题
1．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中 ， ，
，AB与DF交于点M．若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）将一副直角三角尺，按如图所示位置摆放，使30°角所对
的直角边和含45°角的三角尺的直角边放在同一条直线上，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
3．（2021·合肥市第四十五中学九年级其他模拟）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式
摆放，两个三角板的一直角边重合，含 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 角的三角板的
一个顶点在纸条的另一边上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江八年级期中）一副三角板按如图所示放置， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．5.（2021•定兴县月考）如图所示，有一块直角三角板 DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板
DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．（1）若∠A＝40°，则
∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．（2）若∠A＝55°，则
∠ABD+∠ACD＝ °．（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
6．（2021·山西晋城市·八年级期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三
角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边 与边 重合，试
求 的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵ ，
∴ __________（___________________）
又∵ ，
∴ __________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转 ，当 时，求得 的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转 ，使
点B落在边 上，此时发现 与 之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在 与 中，
∵
又∵ （___________________）
__________， __________，
∴
__________．
题型5 三角形的折叠问题
1．（2021·江苏八年级专题练习）如图，把 ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B 处，设 EC
1， DA 2 若 25 ，则 2 1=______2．（2022·江苏如皋初一期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上
一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝_____°．
3．（2021·长沙市初一期末）如图，在 中，点 是 上的点， ，将
沿着 翻折得到 ，则 ______°．
4.（2021•龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，
则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．36° B．72° C．50° D．46°5．（2020·浙江八年级期末）已知，在直角三角形 中， ， 是 上一点，且
．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，将 沿 所在直线翻折， 点落在 边上，记为 点．
①若 ，求 的度数；②试求 与 的关系，并说明理由．
6．（2021·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使得点A落在四边形
的外部 的位置且 与点C在直线 的异侧，折痕为 ，已知 ， ．
（1）求 的度数；（2）若保持 的一边与 平行，求 的度数．题型6 双角平分线（两内、两外、一内一外）
1．（2021·无锡市江南中学七年级月考）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A
之间的关系为___________．
2．（2021·江苏扬州市·七年级月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分
线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
3．（2021·苏州外国语学校八年级期中）如图，在 中， ， 、 分别平分 、
，M、N、Q分别在 、 、 的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、
分别平分 、 ，则 _______．
4．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）如图1， 、 的角平分线 、 相交于点，
（1）如果 ，那么 的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2， ，如果 、 的角平分线 、 相交于点 ，请直接写出
度数；（3）如图2，重复上述过程， 、 的角平分线 、 相交于点 得到 ，
设 ，请用 表示 的度数（直接写出答案）
解：（1）结论： ______度．
BA CA ABC
ACM
说理如下：因为 2、 2平分 1 和 1 （已知），
ABC 21 ACM 22
所以 1 ， 1 （角平分线的意义）．
ACM ABCA 21A
因为 1 1 1， 2（ ）
（完成以下说理过程）
5．（2021·镇江市外国语学校八年级月考）如图1，已知MON 60，A、B两点同时从点O出发，点
A沿射线ON 运动，点B沿射线OM 运动．ABO BC AC ACB
（1）如图2，点C为 三条内角平分线交点，连接 、 ，在点A、B的运动过程中， 的
度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
OC ABM AB
（2）如图3，在（1）的条件下，连接 并延长，与 的角平分线交于点P，与 交于点Q．
P BAO
BCP BAO
① 与 的数量关系为____．②在 中，如果有一个角是另一个角的2倍，求 的度数．
6.（2022•蓬溪县月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量
关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC
＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中
∠A＝ ，求∠BEC．（用 表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、
∠BCNα的平分线交于点Q，α请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角
∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，
延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．题型7.三角形的分类
1. （2021·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的
相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角
三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
2．（2021·山东滨州市·八年级期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A
表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．（2021·咸宁市八年级月考）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三
角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；
⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就
在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型8.三角形的稳定性
1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
2．（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建龙岩·八年级期末）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东·佛山市七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．
5．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期中）如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，
以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022•禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
题型9.高线、中线、角平分线的作法
1．（2022·福建·连江县凤城中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．
（不必尺规作图）（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．
2.（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和
CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
3．（2021·江苏·徐州市七年级阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格
点．(1)画出 向右平移6个单位后得到的 (2)图中 与 的关系是：________．
(3)画出 的中线AE和 的角平分线BF．(4) 的面积为________．4．（2022·江苏·滨海县七年级阶段练习）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将
△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中
线BE；(3)△ABC的面积是 ．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，在 的网格中，每一小格均为正方
形且边长是1，已知 ．(1)画出 中AB边上的高CD，垂足为D；(2)画出 中BC边上的中线
AK；(3)直接写出 _________．
6．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．在方格纸
内将△ABC经过平移后得到 ， 、 、 分别是A、B、C的对应点，图中标出了点B的对应点 ．
点A、B、C、 均在方格纸的网格点上．(1)补全 ；(2)画出AC边上的中线BD；(3)△ABD的面积为
______．题型10.内角和与外角定理的相关计算与证明
1．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是
．
2．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图， 为 的一个外角，点E为边 上一点，延长 到
点F，连接 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在 中， ，点 在线段 的延长线上，过点 作
，垂足为 ，若 ，则 的度数为（ ）A．76° B．65° C．56° D．54°
4．（2021•黄石港区期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，
∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
5．（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点
C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝
72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
6．（2022·重庆合川·八年级期末）如图， 的角平分线 、 相交于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；(2)求证： ．题型11.多边形的相关计算
1．（2021·陕西·模拟预测）若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是
______.
2．（2021·广东南海·一模）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引7条对角线，则n＝_____．
3．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 、 、 、
、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南鹤城·九年级期末）如图1六边形的内角和 为 度，如图2六边
形的内角和 为 度，则 ________．
5．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中， ， ， 、 、
分别是 、 、 的外角，则 等于（ ）A． B． C． D．
6．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8
米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
