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第 01 讲 轴对称
课程标准 学习目标
1. 认识轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练判
断。
①轴对称与轴对称图形的概念
2. 掌握轴对称与轴对称图形的性质，并能够熟练应用
②轴对称与轴对称图形的性质
其解决相关题目。
③线段的垂直平分线
3. 掌握垂直平分线的定义，性质，判定，并能够熟练
应用垂直平分线的性质与判定。
知识点01 轴对称图形的概念
1. 轴对称图形的概念：
若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 ，则这个图形是一个轴对称图形。
这条直线叫做轴对称图形的 。可以有多条对称轴。
题型考点：①轴对称图形的判断。②对称轴的判断。
【即学即练1】
1．下列交通安全图标不是轴对称图形的是（ ）（图中的三角形是等边三角形）A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1 条 B．2条 C．4 条 D．无数条
知识点02 轴对称
1. 轴对称的概念：
一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。
这条直线是轴对称的 。只有一条对称轴。
重合的边叫做 ，重合的角叫做 。重合的点叫做 。
注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。
题型考点：①判断轴对称。
【即学即练1】
3．下列选项中左右两图成轴对称的为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 轴对称与轴对称图形的性质
1. 轴对称与轴对称图形的性质：
①轴对称图形对称轴两旁的部分 ，成轴对称的两个图形 。
②对应边 ，对应角 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对
称轴上。
③对称轴经过任何一组对应点连线的 且与线段 。
④对应点的连线之间相互 。题型考点：①对性质的理解。②利用性质计算。
【即学即练1】
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′＝∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1 个
【即学即练2】
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
第5题 第6题
A．90° B．100° C．70° D．80°
【即学即练3】
6．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝6，△BCD的周长为
17，那么AC边的长是 ．
知识点04 垂直平分线
1. 垂直平分线的定义：
过线段的 且与线段 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，
若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。
2. 垂直平分线的性质：
①垂直平分线 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ ， AC BC。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。即PA PB。所以
△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC∴∠A ∠B；∠APC ∠BPC。
3. 垂直平分线的判定
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 上。
题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。
【即学即练1】
7．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（
）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【即学即练2】
8．如图所示，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，若 AE＝ ，则 BE 两点间的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
9．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC＝8，AB＝6，BC＝4，则△ADB的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【即学即练4】
10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．题型01 轴对称与轴对称图形的判断
【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】
将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号1，2等）．
题型02 轴对称的规律题
【典例1】
如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从 A
（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面 B的坐标是（0，
2），则该球第二次碰到台球桌面的坐标是 （ 2 ， 0 ） ，该球最后落入的球袋是 2 号袋．【典例2】
如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC的边时反弹，反弹时
反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P （﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的
1
点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点P 的坐标是（ ）
2 n 2020
A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）
【典例3】
在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点 P从（0，2）出
发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点 P第2022次
碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．
2022
【典例4】
如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC的边时反弹，反弹的
反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第 1次碰到正方形的边时的点为P （2，
1
0），第2次碰到正方形的边时的点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点P 的坐标为
2 n 2021
．【典例5】
如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹
时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P ，第2次碰到矩形的边时的点为P ，…，
1 2
第n次碰到矩形的边时的点为P ，则点P 的坐标是 ．
n 2021
题型03 轴对称的性质理解
【典例1】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，下列结论：
①AB＝A'B'；
②OB＝OB′；
③AA'∥BB'中，
正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【典例2】
如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，
则下列说法不正确的是（ ）A．三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等
B．AM＝A′M且AA′⊥l
C．∠B＝100°
D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等
【典例3】
如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型04 利用轴对称的性质计算
【典例1】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（ ）
A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'
【典例2】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（ ）A．36° B．154° C．80° D．100°
【典例3】
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
则∠NCF的度数为（ ）
A．18° B．19° C．20° D．21°
【典例4】
在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对
应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝12°，则∠EAF的度数为 ．
【典例5】
如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的
面积是 ．
题型05 利用垂直平分线的性质计算
【典例1】
如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，若△ABD 的周长为 12cm，则 AB+AC＝cm．
【典例2】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的
长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【典例3】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点
F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（ ）
A．40 B．20 C．15 D．10
【典例4】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数
是（ ）
A．22° B．27° C．32° D．40°
【典例5】
如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若
M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）A．115° B．116° C．117° D．118°
【典例6】
如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，
若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．63°
【典例7】
如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘
米．
A．16 B．18 C．26 D．28
【典例8】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，
则△ABC的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm
【典例9】
如图，∠AOB内一点P，P ，P 分别是P关于OA、OB的对称点，P P 交OA于点M，交OB于点N．若
1 2 1 2
△PMN的周长是5cm，则P P 的长为（ ）
1 2A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球
最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，下列说法不正确的是（ ）
A．AP＝A′P
B．MN垂直平分A A′，C C′
C．这两个三角形的面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上
4．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是
点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点B′落
在BC边上．若∠C＝2∠B′AC，AB′平分∠DAC，则∠B的度数为（ ）A．67.5° B．50° C．45° D．22.5°
6．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（
）
A．144° B．108° C．72° D．54°
7．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对
应点分别为A'、D'，若∠2＝ ，则∠1的度数为（ ）
α
A．2 B．90°﹣ C． D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、
α α
N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝ ．10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连
接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线
分别交 BC于点 D、E．已知△ADE的周长为 11cm，分别连接 OA、OB、OC，若△OBC 的周长为
23cm，则OA的长为 ．
第11题 第12题
12．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作
AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ ．
13．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂在平分AE，垂足为F，交AC于点D．
连接DE．
（1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝15°，求∠CDE的度数．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于
点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
15．有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′
处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
（1）如图，当点B′落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
（2）当∠A′EB′＝ ∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
