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第 02 讲 三视图
课程标准 学习目标
①三视图的定义
1. 掌握三视图的定义，能够熟练的根据几何体画出几何体的三视图，
②三视图的画法
也能熟练的根据三视图判断几何体的形状。
③由三视图确定几何体
2. 掌握三视图的到的相关数据，你能够根据三视图进行简单的计算。
④与三视图有关的计算
知识点01 三视图的定义
1. 三视图的概念：
当我们从某一个方向看物体时，所看到的是一个平面图形，这个平面图形就是物体的一个视图。
主视图：从几何体正面看得到的图形叫做 主视图 ，可以得到物体的 长度 和 高度 。
左视图：从几何体侧面看得到的图形叫做 左视图 ，可以得到物体的 宽度 和 高度 。
俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做 俯视图 ，可以得到物体的 长度 和 宽度 。
【即学即练1】
1．下列立体图形中，从前面看得到的平面图形与从左面看得到的平面图形不相同的是（ ）
A． 长方体 B． 正方体C． 圆柱 D． 球
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形．根据主视图与左视图相同，可得答
案．
【解答】解：A、从左面看是小长方形，从正面看大长方形，得到的平面图形不相同，故选项符合题意；
B、从左面看与从正面看都是正方形，即得到的平面图形相同，故选项不符合题意；
C、从左面看与从正面看都是长方形，即得到的平面图形相同，故选项不符合题意；
D、从左面看与从正面看都是圆，即得到的平面图形相同，故选项不符合题意．
故选：A．
知识点02 三视图的画法
1. 三视图的画法：
画三视图时，要把三视图放在正确的位置，先确定主视图的位置，左视图在主视图的右边，俯视图在
主视图的正下方。一定要注意主视图与俯视图的 长对正 ，主视图与左视图的 高平齐 ，左视图
与俯视图的 宽相等 。看得见的轮廓线用 实线 表示，看不见的轮廓线用 虚线 表示。
【即学即练1】
2．如图，画出几何体的主视图、俯视图和左视图．
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：如图所示：
【即学即练2】
3．用7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请你在方格中画出该几何体从正面、左面和上面三
个不同方向观察到的形状图（用较粗的实线进行描绘）．【分析】从正面看从左往右3列正方形的个数依次为1，3，2；
从左面看从左往右3列正方形的个数依次为3，1；
从上面看从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1．依此画出图形．
【解答】如图所示，
．
知识点03 由三视图确定几何体
1. 由三视图确定几何体的方法途径：
①可以根据主视图、左视图及俯视图想象出几何体的形状。
②熟记一些简单几何体的三视图，从在帮助我们得到复杂的几何体。
【即学即练1】
4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体
【分析】根据前两个视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据第三个视图的形状，可判断柱
体侧面形状，得到答案．
【解答】解：∵前两个视图都是长方形，第三个视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱．
故选：C．
知识点04 与三视图有关的计算
1. 与三视图有关的计算：
与三视图有关的计算多为根据三视图求几何体的表面积、体积等。
2. 具体步骤：
（1）根据三视图确定几何体的形状。
（2）根据三视图标注的数据计算出几何体的相关数据。
（3）在根据相关公式计算出相应的表面积，体积等。
【即学即练1】
5．已知图为一几何体从不同方向看的图形：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若长方形的高为10厘米，等边三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是正三角形，可得到此几何体
为正三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10，4，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）正三棱柱；
（2）3×10×4＝120（cm2），
答：这个几何体的侧面积为120cm2．
【即学即练2】
6．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图：构成这个立体图形的小正方体的个数是
6 ．
【分析】先根据从上面看得到的图形得到几何体有两行两列，根据从左面看得到的图得到第一行只有1
个，根据从正面看得到的图形得到第二行的分别是3个与2个即可得到答案．
【解答】解：由从上面看得到的图形得，几何体有两行两列，由从左面看得到的图得，第一行只有1个，
由从正面看得到的图形得，第二行的分别是3个与2个，
∴正方体的个数为：1+2+3＝6（个）．
故答案为：6．
题型01 判断几何体的三视图
【典例1】如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线．
故选：B．
【变式1】如图所示的几何体俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】几何体的俯视图即为从上往下看，所看到的平面图形，由此判断即可．
【解答】解：几何体俯视图是 ．
故选：B．
【变式2】如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：根据题意，从正面看得到的图形为： ．
故选：B．
【变式3】如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体从左面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从左面看，看到的图形分为上下两层，共两列，然后确定每一列的分布情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，
从左面看，图形分为上下两层，共两列，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小
正方形，看到的图形为： ．
故选：C．
题型02 根据三视图确定几何体
【典例1】一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ）
Δ
A． B．
C． D．【分析】由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．
【解答】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
【变式1】如图的三视图对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以
上定义逐项分析即可．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满
足这两点，
故选：D．
【变式2】由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积木，所得到的图形如图所示，则这个
积木可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看
出前后层数，综合三视图可得到答案．
【解答】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成．
故选：B．
【变式3】有一个立体图形，从左面看是 ，从正面和上面看都是 ，这个立体图形是下
面的图形（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据题意，从上面和正面看到的图形可排除B和C，根据右面看到的图形可得出答案．
【解答】解：∵从正面看到是 ，
∴B和D不符合题意，
∵从上面看到是 ，
∴C不符合题意，
∵从左面看到的图形是 ，
∴这个立体图形的形状是 ．
故选：A．
题型03 与三视图有关的计算
【典例1】如图，是一个正三棱柱的三视图，则这个棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．6
【分析】根据三视图，得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为 ，正三棱柱的高为
4，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可．【解答】解：由三视图可知：正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为 ，正三棱柱的高
为4，
∴底面边长＝ ，
∴正三棱柱的体积为 ．
故选：B．
【变式1】某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．3 B．2 C． D．12
【分析】由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解．
π π π
【解答】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱，
∴该几何体的体积是： ，
故选：A．
【变式2】三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF＝8cm，EG＝12cm，∠EFG＝45°．则AB的长为
（ ）cm．
A．8 B．12 C． D．
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ＝AB，
∵EF＝8cm，∠EFG＝45°，
∴EQ＝AB＝ ×8＝4 （cm）．
故选：C．
【典例2】如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小立方块的个数是 4 ．
【分析】根据“从正面看”可得该几何体有2层，再分别根据“从左面看”、“从上面看”，判断正方
体的具体摆放，即可解答．
【解答】解：观察三视图，可得这个几何体有两层，底下一层是一行三列有3个正方体，上面一层中间
有一个正方体，
故搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个．
故答案为：4．
【变式1】如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个
几何体的小正方体的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】由上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三
层小木块的个数，依此将得到的正方体的个数在图上标出来计算总个数即可．
【解答】解：∵从上面看有5个正方形，
∴最底层有5个正方体小木块，
根据主视图和左视图，在俯视图相应位置标出小正方体的个数如下：
∴搭成这个几何体的小正方体的个数是1+1+1+2+3＝8（个），
故答案为：A．
【变式2】如图所示，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几
何体的小正方体的个数最少是（ ）个．
A．8 B．9 C．10 D．11【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层
正方体的可能的最少个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，第三层最少有1
个正方体，那么共有6+2+1＝9个正方体组成．
故选：B．
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
2．如图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部
分，则该谷堆的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：C．
3．原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ）A． B． C． D．
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：A．
4．由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最小
B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小
D．三个方向看的视图面积相等
【分析】先得出三视图：正视图为5个小正方形；俯视图为3个小正方形；左视图为5个小正方形；再
求其面积，比较大小即可．
【解答】解：由题意可知：
正视图：5个小正方形；
俯视图：3个小正方形；
左视图：5个小正方形；
则俯视图的面积最小．
故选：C．
5．一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这
样的几何体最少需要的小立方块的个数是（ ）A．7 B．9 C．11 D．12
【分析】根据从正面看和从上面看的图形分别确定每个位置最少得小立方块数即可得到答案．
【解答】解：每个位置小立方块最少的数量如图所示，
∴搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数是3+1+1+2＝7，
故选：A．
6．学生玩一种游戏，需按墙上的空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，
一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．
【解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形，圆，故A选项符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意；
C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，故C选项不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意；
故选：A．
7．如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的
个数，则这个几何体从正面看到的形状是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该组合体的主视图为 ，
故选：B．
8．一个几何体从正面和上面看到的图形如图所示，若这个几何体最多由 a个小正方体组成，最少由b个小
正方体组成，则a+2b的值为（ ）
A．15 B．16 C．21 D．22
【分析】根据简单组合体正面和上面看到图形，求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：这个几何体小正方体最多时：第一列的有8个小正方体，第二列有1个小正方体，共9个
小正方体组成，
最少时：第一列的有5个小正方体，第二列有1个小正方体，共6个小正方体组成，
即a＝9，b＝6，
∴a+2b＝9+2×6＝21，
故选：C．
9．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知 ，∠C＝
45°，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
【分析】作AD⊥BC于点D，设AD＝x，根据等腰三角形的性质得CD＝AD＝x，解直角三角形得BD＝
3x，所以BC＝4x＝4，即AD＝1，又知三棱柱的高为2，即可求出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，设AD＝x，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
∵ ，
∴ ＝ ，
∴BD＝3x，
∴BC＝4x＝4，
∴x＝1，
∴AD＝1，
∴左视图的面积是2×1＝2．
故选：D．
10．如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图
所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度约为（ ）（参
考数据： ， ， ≈2.236）
A．148.9cm B．149.0cm C．149.2cm D．149.4cm
【分析】由主视图知道，高是7.5cm，两顶点之间的最大距离为20cm，应利用正六边形的性质求得底面
对边之间的距离，然后所有棱长相加即可．
【解答】解：根据题意，作出实际图形的上底，
如图：AC，CD是上底面的两边，
则AC＝20÷2＝10（cm），∠ACD＝120°，
作CB⊥AD于点B，
那么AB＝AC×sin60°＝5 （cm），
所以AD＝2AB＝10 （cm），胶带的长至少＝10 ×6+7.5×6≈148.9（cm）．
故选：A．
11．用若干个小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如图：
这个几何体由 块小正方体搭成．
【分析】由三视图知，该几何体中小方块的分布情况如下图所示 ，据此可得答案．
【解答】解：由三视图知，该几何体中小方块的分布情况如下图所示：
所以这个几何体由3块小正方体搭成，
故答案为：3．
12．一空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ．
【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形和长方形的组合体，俯视图是圆，可以判断这个几
何体是圆锥和圆柱的组合体，结合图形可得出母线及底面半径，圆柱的高，继而可求出这个几何体的表
面积．
【解答】解：依题意知：这个几何体是圆锥和圆柱的组合体，
圆锥的底面半径＝4÷2＝2，母线长为3，
圆柱的底面半径＝4÷2＝2，高为2，
则这个几何体的表面积是 ×2×3+ ×22+ ×2×2×2＝6 +4 +8 ＝18 ．
故答案为：18 ．
π π π π π π π
13．如图是从一个几何体的三个方向所看到的图形，若这个几何体的体积是64，则它的表面积是 ．
π【分析】根据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出表面积．
【解答】解：∵由主视图和左视图得出长方体的长是8，宽是2，这个几何体的体积是64，
∴设高为h，则8×2h＝64，
解得：h＝4，
∴它的表面积是：2×8×2+2×8×4+2×4×2＝112．
故答案为：112．
14．如图，是由8个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标有①、②、③、④的四个小正方体
中随机取走一个，所得新几何体与原几何体主视图相同的概率是 ．
【分析】根据三视图的定解决问题即可．
【解答】解：共有4种可能，其中拿走①是主视图是相同的，
∴相同的概率是 ．
故答案为： ．
15．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示，正六边形边长为3且各
有一个顶点在直线l上，则图1中螺母组成的图形的周长（图中加粗部分总长度）为 ；两侧螺
母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与
直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，正六边形边AB⊥直线l．则∠ ＝ ．
α
【分析】（1）运用组成图形的边的数量和乘以边长解题即可；
（2）根据六边形的外角和平行线的性质解题即可．
【解答】解：图1中螺母组成的图形的周长为：（5+4+5）×3＝42；如图，延长AB交直线l于点C，延长GE交AB于点F，
∵AB⊥直线l，
∴∠ACD＝90°，
又∵EG∥l，
∴∠EFB＝∠ACD＝90°，即∠EFA＝90°，
又∵图形是正六边形，
∴ ，
∴∠ ＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：42；30°．
α
16．如图是由7个小立方块搭成的几何体，请在下面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的几何体
的形状图．
【分析】根据三视图的定义画图即可．
【解答】解：如图所示．
17．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出几何体的名称；
（2）根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（精确到0.1cm2）．【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据解答即可．
【解答】解：（1）由三视图可知，原几何体为圆锥；
（2）这个几何体的表面积＝ ≈84.8cm2．
18．如图，这是某工厂车床工作间某工件的从三个方向看到的图形，工人借助直尺测量了部分长度，根据
图中数据求该工件的体积．
【分析】根据从不同方向看到的几何体可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体
积的和．
【解答】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是8cm和4cm，高分别是8cm和2cm，
∴体积为：8 ×42+2 ×22＝136 （cm3）．
答：该工件的 π 体积是 π136 cm3． π
19．一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图
π
中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 1 ，c＝ 1 ；
（2）这个几何体最少由 8 个小立方块搭成，最多由 1 0 个小立方块搭成；
（3）当d＝2，e＝3时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图．
【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可；
（2）根据从正面和上面看到的形状判断即可；（3）根据从左面看到的形状图画出图形．
【解答】解：（1）由图可知a＝2，b＝c＝1．
故答案为：2，1，1；
（2）这个几何体最少由2+1+1+3+1＝8个小立方块搭成，
∴最多由2+1+1+3+3＝10个小立方块搭成．
故答案为：8，10；
（3）从左面看到的图形如图所示：
20．【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大
长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位
置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
（1）请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充如表：
长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2）
图1 16 6 4 36 8
图2 3 2 6 2 53 6
图3 16 1 2 2 49 6
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是 图 1 所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”）．
【解决问题】
（2）现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，若用这4个长方体盒子
搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 23 6 （cm2）．
【实践应用】
（3）元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何
体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商
家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）
【分析】（1）根据图1，图2，图3分别求解即可；
（2）拼成一个6×5×8的长方体的表面积最小；
（3）这要使包装的纸最少，应该把每个长方体最大的面重合在一起，即把75×35的面重合在一起，这
样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为15×4＝60（厘米）．
【解答】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积＝2（16×6+16×4+4×6）＝368．
图2中，长为32，表面积2（32×6+32×2+6×2）＝536．
图3中，宽为12，表面积2（16×12+16×2+12×2）＝496．
长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2）
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 536
图3 16 12 2 496
故答案为：4，368，32，536，12，496，图1；
（2）最小面积＝2×（5×6+5×8+6×8）＝236；
（3）根据三视图可知有4个长方体礼盒．
每个长方体礼盒的长宽高分别为75cm，35cm，15cm．
这要使包装的纸最少，应该把每个长方体最大的面重合在一起，即把 75×35的面重合在一起，这样包装
后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为15×4＝60（厘米），
依题意，（75×35+75×60+60×35）×2＝18450．
答：最少需要18450平方厘米包装纸．
