文档内容
第 02 讲 中心对称与中心对称图形
1. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
3. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和
旋转的组合进行图案设计。
知识点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心
平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图
形关于这一点对称。
4. 作图步骤：
(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对
称中心的距离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相
重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
知识点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对
称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，
y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，
y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
【题型1 中心对称图形】
【典例1】（2023•淮北一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022秋•铁锋区期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中
心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）A．三叶玫瑰线 B． 四叶玫瑰线
C． 心形线 D． 笛卡尔叶形线
【变式1-2】（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022秋•文登区期末）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 中心对称的性质】
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 关于点（0，﹣1）
1 1 1
成中心对称．已知点B的坐标为（﹣2，2），则点B 的坐标是（ ）
1
A．（2，﹣2） B．（1，﹣3） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）
【变式2-1】（2022春•镇江月考）如图，线段 AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【变式2-2】（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与
△A B C 关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ，则
1 1 1 1 1 1
对称中心E点的坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）
【变式2-3】（2021秋•黔西南州期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O
成中心对称，有以下结论：①点 A 与点 A′是对称点；② BO＝B′O；
③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 ．
【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，
若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）A．4 B． C． D．
【变式3-1】（2022秋•厦门期末）如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，
AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为
．
【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）如图，已知点 O是矩形ABCD的对称中心，
E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是
22，那么图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-3】（2022•南京模拟）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
若AB＝4，则DE＝ ．
【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边
形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，定点 B 的坐标为（8，4），若直线经过点 D
（2，0），且将平行四边形 OABC分割成面积相等的两部分，则直线 DE的
表达式（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6【变式4-1】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边
形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（8，6）．若直线 l 经过点
（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应
的函数解析式是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【变式 4-2】（2022 秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，
OABC的顶点B的坐标为（﹣4，2），直线l：y＝﹣ x+b恰好将 OABC
▱的面积平分，则b的值为 ． ▱
【典例5】（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对
称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．
求证：FD＝BE，FD∥BE．【变式5-1】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，
△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
【变式5-2】（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，E
是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长
线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若
AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
【题型3 点坐标的对称】
【典例 6】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点 A（2，m）与点 B
（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【变式6-1】（2022秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a
﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1【变式6-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，﹣4）关
于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【变式6-3】（2022秋•开封期末）已知点 M（a，b）在第二象限内，且|a|＝
1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【题型4 图案设计】
【典例7】（2022秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面
直角坐标系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，
由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 ，△ABC的面积是 ；
（2）将△ABC 绕点 C 旋转 180°得到△A B C ，连接 AB 、BA ，则四边形
1 1 1 1 1
AB A B的形状是何特殊四边形？ ．
1 1
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点 P，使四边形ABOP的面积等于
△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式 7-2】（2022 秋•沙河市期末）如图所示，三角形 ABC 和三角形
A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看
到三角形ABC和线段BC的对应线段 B′C′，请你帮该同学找到对称中心
O，且补全三角形A′B′C′．【变式7-2】（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在
格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A B C 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B 的坐标为 ．
1 1 1 1
（2）△A B C 的面积为 ．
1 1 1
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A （﹣1，﹣2），
2
B （1，﹣3），C （0，﹣5），则旋转中心的坐标为 ．
2 2
【变式7-3】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1
个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，
其中点A坐标为（1，﹣3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A B C ；
1 1 1
（2）画△ABC关于点O对称的△A B C ；
2 2 2
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，
则点D的坐标为 ．1．（2023•辽宁）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
2．（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 F遥十六运载火箭于
2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮 3名航天员开启
“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上
方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023•凉山州）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
4．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为
（4，﹣b），则ab的值为（ ）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
5．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC
与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下
列结论错误的是（ ）
A．OE∥AB
B．四边形ABCD是中心对称图形
C．△EOD的周长等于3cm
D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形
6．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点 P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）
关于原点对称，则m的值是 ．
7．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点 P（﹣3，5）与点Q（3，m
﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
1．（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对
称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的
点的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）4．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象
限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣ 或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣ ＜a＜1 D．a＞1
5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，
下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
6．（2023•玉林一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发
沿 AB 向点 B 运动，移动到点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形
AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
7．（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C
＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2023•乾安县三模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
9．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面
积为 9 ．
10．（2023春•玄武区期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到
△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 ．
11．（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，
若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 ．
12．（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将
其分为面积相等的两部分．13．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线 AB和点P，求作平行四边
形ABCD，使点P是它的对称中心．
14．（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，
请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A B C 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B 的坐标为 ．
1 1 1 1
（2）△A B C 的面积为 ．
1 1 1
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A （﹣1，﹣2），
2
B （1，﹣3），C （0，﹣5），则旋转中心的坐标为 ．
2 2
15．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，﹣2），
点P是x轴上的一个动点．
（1）A ，A 分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点
1 2
A ，A 的坐标，并在图中描出点A ，A ．
1 2 1 2
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．16．（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点
E、F在线段AC上，且AF＝CE．
求证：FD＝BE，FD∥BE．
