文档文本内容
考点 05 一元二次方程、不等式（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【知识点】
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
根x，x(x<x) x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
不等式的解集 {x|x≠－} R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ ；
(2)≥0(≤0)⇔ .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|<a(a>0)的解集为 ．
【核心题型】
题型一 一元二次不等式的解法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
命题点1 不含参数的不等式
【例题1】（2024·青海·一模）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是 ．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 ，若
，则 的取值范围是 .
命题点2 含参数的一元二次不等式
【例题2】（2024·云南红河·二模）已知 均为正实数，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 内随机取一个实数 ，则关于
的不等式 仅有2个整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数 ，若关于 的不等
式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式 的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
题型二 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
命题点1 在R上恒成立问题
【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x的不等式 的解
集为 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2023·福建厦门·二模）“ ”是“ ， 成立”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 恒成立”的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 在给定区间上恒成立问题
【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数 ，若不等式 在上恒成立，则满足要求的有序数对 有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题 ：任意 ，使
为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当 时，不等式： 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 ，
则所有满足条件的有序数对 是 ．
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若 对于 恒成立，则实数x
的取值范围为 ．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数 是定义在 上的增函数．若不等
式 对于任意 恒成立，求实数x的取值范围.
【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意 ，任意 ，使得
不等式 成立，则实数 的取值范围是 ．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式 对任意 恒成立，
实数x的取值范围是 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南红河·二模）已知 均为正实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件 是 的充分不必要条件是（ ）A．函数 定义域为 ， ： 在A上成立. ： 为增函数；
B． ： 成立， ： 最小值为4；
C．p:函数 在区间 恰有一个零点，q: ；
D．p:函数 为偶函数（ ），q:
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 且 ，若 在
上恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知 ， ，且 ，若 恒
成立，则实数t的值可能为（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
2．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x，x)，则必有a>0
1 2
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是
空集
三、填空题
1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间
的真子集，则 的取值范围是 ．
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合
，则 .
四、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 的解集为 ．(1)求 和 的值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 的不等式： ．
（2）解关于实数 的不等式： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，且存在 使不等式 成立，求实数 的取值
范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p：“ x∈ ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命
题，则实数a的取值范围是（ ） ∀
A．－1<a<2 B．a≥1
C．a<－1 D．－1≤a<2
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合 ，则
集合 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数 ，对 都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题 ， ，若命
题 是假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式
的解集是空集”，则条件 ： “ ”是条件 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·天津河西·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义 ，设函数
，若 使得 成立，则实数a的取值范围为
（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于 x 的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A． 或 B．
C． D．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的解集是
C．若不等式 恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式 的解集是 ，则 的值为
3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若 对任意 恒成立，其
中 ， 是整数，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，函数 若对任意
， 恒成立，则a的取值范围是 ．
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“ ， ”为假命题，
则 的取值范围为 .
3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合 ， ，则
.
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数 满足 ，且
(1)求 的解析式；
(2)在区间 上，函数 的图象恒在直线 的上方，试确定实数m的取值范围．
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，其中 ．解不等式 ；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x)＝ 求f(f(x))≥1的解集．
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 满足
．
(1)讨论 的奇偶性；
(2)设函数 ，求证： ．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 内随机取一个实数 ，则关于 的不等式 仅有2个整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 恒成立，
则实数a的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 满足 ， ，且对任意的实数 ，都
有 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 垂直 B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于 的不等式 的解集恰有
50个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）
A． 的值可能为-43
B．这50个整数元素之和可能为-925
C． 的值可能为57.5
D．这50个整数元素之和可能为1625
三、填空题
7．（2022高三上·河南·专题练习）已知 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的取值范围是 ．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数 ．甲同学： 的解
集为 ；乙同学： 的解集为 ；丙同学：y的对称轴大
于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若对任意 ，
则所有满足条件的有序数对 是 ．
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于 的不等式： .
12．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围;
（ⅱ）设 ，且 ，求证: .
14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数 是定义域为 的奇
函数，且 的图象过点 .
(1)求a，b的值；
(2)设 ，若 （ 为函数 的
导数），试写出符合上述条件的函数 的一个解析式，并说明你的理由．
