文档内容
第 02 讲 二次根式的乘除
【题型1 二次根式的乘法运算】
【题型2 二次根式的除法运算】
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【题型4 最简二次根式的判定】
【题型5 化简二次根式】
【题型6 已知最简二次根式求参数】
考点1：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
【题型1 二次根式的乘法运算】
【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ❑√8×❑√18． (2)❑√0.5×❑√2.5．√ 1 √2
(3)❑1 ×❑ ． (4)❑√1.2×102×❑√3×105．
4 5
【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算:
√ 8 √ 1 √ b
(1)-5❑ ×❑1 ×3❑√54； (2)❑√5ab×❑ (a>0，b>0).
27 4 125a
【变式1-2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算：
√1 √1
(1) ❑ ×❑√32； (2)4❑√xy×❑ ；
2 y
(3)6❑√8×（﹣3❑√2）； (4)3❑√5a×2❑√10b．
【变式1-3】（23-24八年级下·北京·期中）计算
2 √ 3 3 1
(1) ❑3 ×(−9❑√45)， (2) ❑√20⋅(−15)⋅(− ❑√18)；
3 4 2 3
考点2：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
【题型2 二次根式的除法运算】
【典例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
❑√18 √ 2 √ 5 √x
(1) ； (2)−❑1 ÷❑ ； (3)6❑√3x2÷3❑ ．
❑√6 3 54 3
【变式2-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) (2)
5❑√14÷(−❑√7) 2❑√18÷3❑√2
3 √8 √16
(3)− ❑√6÷2❑√3 (4)−❑ ÷❑
2 5 5
【变式2-2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算：
❑√3 √ 2 √ 5 √ b
(1)❑√72÷ ； (2)−❑1 ÷❑ ； (3)❑√3ab÷❑ （a>0，b>0
2 3 54 3a
）．【变式2-3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)√ 2 ÷3 √ 3 (2) ÷2 (3)2❑√x2y (4)
❑ ❑1 ❑√12x ❑√y
45 2 5 5 3❑√xy
a+2
．
2❑√a+2
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ； (2)√ 3 ( 1 )；
❑√5×❑√2×2❑√2÷2❑√5 ❑1 ×2❑√3× − ❑√10
5 2
(3) x❑√x y2÷ ( − 2 ❑ √ x) ⋅ 1 ❑√x4 y ； (4) n ❑ √ 1 ⋅ ( − 1 ❑ √ n3) ÷❑ √ n ．
3 y 2 m 2m3 m m3 2m3
【变式4-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶
(1)√24 √14 √9； (2)√1 √ 1 ( √1)．
❑ ×❑ ÷❑ ❑ ×❑1 ÷ −3❑
7 3 2 3 2 8
【变式3-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算：
(1) (3 √1) 3 ； (2) √ 1 ( 1 ) (1 √2)．
❑√45÷ ❑ × ❑√5 3❑2 × − ❑√15 ÷ ❑
2 5 2 3 8 2 5【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)❑√42÷❑√5×❑
√1
； (2)3❑√12x2y⋅(−2❑√3x)÷
2
❑√4 y(x≥0,y>0)．
5 5
考点3：最简二次根式
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型4 最简二次根式的判定】
【典例4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A．❑√4 B．❑√81 C．❑√5 D．❑√0.12
【变式4-1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的
是（ ）
√a
A．❑√4a3 B．❑√24 C．❑ D．2❑√mn
2
【变式4-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是
（ ）
√1
A．❑√12 B．❑√2 C．❑ D．❑√0.1
3
【变式4-3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√2
A．❑√32 B．❑√15 C．❑√0.4 D．❑
3
【题型5 化简二次根式】
【典例5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若❑√2=a，❑√35=b，则❑√7000可以表示为
（ ）
A．10❑√ab B．100❑√ab C．10ab D．100ab
【变式5-1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简❑√20的结果是（ ）
A．10 B．4❑√5 C．2❑√5 D．5❑√2
【变式5-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 ，则二次根式 化为
y>0 ❑√−81x3y3
最简二次根式为 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·山西太原·期中）将❑√18化成最简二次根式为 ．
【题型6 已知最简二次根式求参数】【典例6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式❑√2a−4与二次根式❑√8能
够合并，则a的值可以是（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【变式6-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若❑√8和最简二次根式❑√3m−7是同类二次
根式，则m的值为（ ）
A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）若❑√8与最简二次根式❑√m+1能合并，则m
的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【变式6-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式❑√1−a和3❑√3可以合并，
则 的值为 ．
❑√a2
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√64 B．❑√15 C．❑√0.3 D．❑
5
2.（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（ ）
A．❑√3×2❑√3=5❑√3 B．5❑√3×5❑√2=5❑√6
C．4❑√3×2❑√2=6❑√5 D．4❑√3×2❑√2=8❑√6
3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简❑√75÷❑√3正确的是（ ）
A．2❑√5 B．❑√5 C．❑√15 D．5
4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）若x=❑√2−1，则x2+2x+1的值为 （ ）
A．2 B．2+❑√2 C．❑√2−1 D．❑√2
5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知数列❑√3，❑√7，❑√11，❑√15，…，则3❑√11是它
的（ ）
A．第19项 B．第22项 C．第25项 D．第28项二、填空题
6．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式❑√x+1与2❑√2x能合并，则x=
．
√1
7．（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）计算：❑√20×❑ = ．
5
8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简：❑√48= ．
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ．
(2+❑√3)(2−❑√3)=
三．解答题
10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 3 √a3
12❑√a2b3÷ ❑√a3b×❑
2 b
