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考点 06 函数的概念及其表示（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种
确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同
一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一 函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则集合
的真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型二 函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
【例题2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河南·模拟预测）已知函数 对定义域 内的任意实数 满足，则 .
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数 的最大值是 ，且它的图像
过点 ，求函数 的解析式．
【变式3】（2024·山东济南·一模）已知集合 ，
函 数 . 若 函 数 满 足 ： 对 任 意 ， 存 在 ， 使 得
，则 的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析
式即可）
题型三 分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
【例题3】（2024·四川广安·二模）已知函数 ，则 的值为
.
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 的最小值
为-1，则 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集 ，集合 ， ，
则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数 则函数
的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列 个函数，其中对于任意 均成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数 取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 在 上可导，且 ，
则 ．
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若 的定义域为 ，求 的
定义域．
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ， ，且 ，求满足条件
的整数 的所有取值的和.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，其中 为正整数.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 的单
调区间.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B．
C． 的最大值为2 D．
3．（2023·浙江·二模）已知函数 满足 ，则 可能是（ ）．
A． B．
C． D．4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．1或
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上的减
函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数 的图象恒过点 ，
函数 的定义域为 ， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称C． 在 单调递增 D． 有最小值
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若 是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
D．若 的定义域为 ，则 的定义域为
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 是定义域为 的偶函数， 是定义域为 的
奇函数，且 .函数 在 上的最小值为 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． 在实数集 单调递减
C． D． 或
11．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数 ．下列
结论正确的是（ ）
A．任取 ，都有B．函数 有2个零点
C．函数 在 上单调递增
D．若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ，则 ．
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数 的定义域是
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数 满足以下条件：①在区间 上单调递
增；②对任意 ， ，均有 ，则 的一个解析式为 ．
14．（2024·辽宁·一模）已知集合 ， ，则
， .
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）已知函数 的图像过点 ．
(1)求实数 的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
16．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合 ，函数 的定
义域为集合 ．
(1)当 时，求 ；
(2)设命题p： ，命题q： ，若p是q的充分不必要条件，求实数 的取值范围．17．（2023·河南·模拟预测）已知 为定义在 上的偶函数， ，且
．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
18．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知 ，函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)若 的图象与 轴围成的面积小于 ，求 的取值范围.
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 ，其中
(1)求 的单调区间
(2)求方程 的零点个数.拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的 看成输入的 的函
数，得到函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．1
2．（2023·全国·模拟预测）设 ，若 ，则
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
3．（2023·河南郑州·二模）若函数 的部分图象如图所示，则
（ ）A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ，
成立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数 在R上单调递增，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，则（ ）
A．函数 在R上单调递增
B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上单调递减D．函数 在 上单调递减
7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数 ，
函数 则下列说法正确的是（ ）
A． 的解集为
B．函数 在 上的周期为
C．函数 的图象关于点 对称
D．方程 的所有实根之和为
8．（2024·全国·一模）已知函数 的定义域为 ，且满足① ；
② ；③当 时， ，则（ ）
A． B．若 ，则
C． D． 在区间 是减函数
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为 ，②导函数 ；③值域为
10．（2023·上海徐汇·三模）函数 的定义域为 .
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ．(1)画出函数 的图象；
(2)设函数 的最大值为 ，若正实数 ， ， 满足 ，求
的最小值．
12．（23-24高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信
息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据
流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随
机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能
发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为
概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机
变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的
单位通常为比特，但也用 、 、 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的
对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1 的信息，而掷 次
就为 位.更一般地，你需要用 位来表示一个可以取 个值的变量.在1948年，克劳
德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的
发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为 ，定义 的信息熵
，（ ， ）。
(1)若 ，试探索 的信息熵关于 的解析式，并求其最大值；
(2)若 ， （ ），求此时的信息熵.
