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第 02 讲 反比例函数的图象与性质
课程标准 学习目标
1. 掌握反比例函数的图象与性质，并能够对图象和性质进行熟
①反比例函数的图象与性质 练的应用其解决相关题目。
②反比例函数k的几何意义 2. 掌握反比例函数k的几何意义，并能够在题目中熟练应用其
解决相关题目。
知识点01 反比例函数的图象与性质
1. 画反比例函数的图象的一般步骤：
反比例函数的图象画法与一次函数二次函数类似，分三个步骤进行：
① 列表 ：自变量的取值应以O为中心，向两边取三队或以上的互为相反数的值，并计算出相
应的函数值，在用表格形式表示出来。
② 描点 ：在直角坐标系中描出表格中作为点的坐标的坐标点。
③ 连线 ：在各象限内，用平滑的曲线顺次连接各点并向两边延伸。2. 反比例函数的性质
（1）若 k＞0 时，则反比例函数的图象位于第 一、三 象限，此时反比例函数在每一支上y随x的
增大而 减小 。
（2）若 k＜0 时，则反比例函数的图象位于第 二、四 象限，此时反比例函数在每一支上y随x的
增大而 增大 。
3. 反比例函数的对称性：
反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。
①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为 原点 ，反比例函数与正比例函数的两个
交点一定关于 原点 对称。
②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的
k＞0
，则函数的对称轴是 一三 象
限的角平分线；若反比例函数的
k＜0
，则对称轴是 二四 象限的角平分线。
【即学即练1】
1．在同一坐标平面内，分别画出y＝ 与y＝﹣ 的图象．
【分析】列表，描点，连线即可．
【解答】解：列表：
x ﹣4 ﹣3 3 4
y＝6/x ﹣1.5 ﹣2 2 1.5
y＝﹣12/x 3 4 ﹣4 ﹣3
描点，连线：
【即学即练2】
2．对于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数 ，
∴当x＝1时，y＝﹣ ＝﹣3，故选项A不符合题意；
k＝﹣3，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【即学即练3】
3．正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数 y＝2x和反比例函数 的另一个交点
与点（1，2）关于原点对称．
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【即学即练4】
4．已知三个点（﹣2，y ），（1，y ），（2，y ）在反比例函数 的图象上，下列结论正确
1 2 3
的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【分析】根据反比例函数的图象可得y ＞0，y ＜0，y ＜0，再根据反比例函数的增减性可得．
1 2 3
【解答】解：∵三个点（﹣2，y ），（1，y ），（2，y ）在反比例函数 的图象上，
1 2 3
∴该函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，且y ＞0，y ＜0，y ＜0，
1 2 3
又∵2＞1＞0，
∴y ＞y ，
3 2
∴y ＞0＞y ＞y ，
1 3 2
即y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：C．
【即学即练5】5．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣ （k≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的
即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数的系数﹣k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、
三象限，原题没有满足的图形；
当k＜0时，反比例函数的系数﹣k＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．
故选：A．
【即学即练6】
6．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关
于x的不等式ax+b＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为 ，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴ ，∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范
围，
∴关于x的不等式 的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
知识点02 反比例函数k的几何意义
1. k的几何意义：
图① 图②
①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到
1
|k|
2
的三角形的面积等于 。
推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例
1
|k|
2
函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。
②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面
|k|
积为 。
【即学即练1】
7．若图中的双曲线解析式均为 ，则阴影面积为12的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：∵在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴
围成的矩形的面积是定值|k|，
∴A、C中阴影部分的面积为6，不符合题意；
B中阴影部分的面积为3，不符合题意；
D中两个小三角形的面积和为6，正方形的面积为6，故阴影部分的和为12，符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 （k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x
轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为 ，则k的值（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数k值几何意义运算即可．
【解答】解：△AOB的面积为 ，
所以 ．
故选：A．
题型01 反比例函数性质的熟悉【典例1】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．当0＜x＜1时，y＜﹣5
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
【解答】解：A、当x＝2时， ＝﹣ ，图象不经过点点（2，﹣3），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D、∵当x＝1时，y＝﹣5，x＞0时，y＜0
∴当0＜x＜1时，y＜﹣5，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式1】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．图象分布在第二、四象限
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，且x ＜x ，则y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴图象位于一三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，故A选项正确，B选项错误，
当x＝1时，y≠﹣2，因此图象不过（1，﹣2），故C选项错误，
若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＞y2，故D选项错误，
故答案为：A．
【变式2】关于反比例函数 的说法正确的是（ ）
A．k＝5
B．y随x的增大而减小
C．其图象关于y轴对称
D．若点（a，b）在其图象上，则
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【解答】解：∵ ，故A错误；∵ ，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B错误；
反比例函数 的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，故C错误；
将（a，b）代入 ，得 ，即 ，故D正确，
故选：D．
【变式3】已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象分布在第二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．如果两点（﹣1，y ），（2，y ）都在图象上，则y ＞y
1 2 1 2
D．图象关于原点中心对称
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
【解答】解：A．反比例函数的常数k2+1＞0，
反比例函数 图象分布在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意；
B．在每一象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
C．因为 ， ，所以y ＜y ，故该选项错误，不符合题意；
1 2
D．反比例函数的图象关于原点中心对称，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
题型02 根据反比例函数的性质求k
【典例1】已知反比例函数 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 k ＞ 1 ．
【分析】根据反比例函数 的图象位于第一、三象限，得出k﹣1＞0，解出不等式，即可作答．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故答案为：k＞1．
【变式1】若反比例函数y＝（2m﹣1） 的图象在第二，四象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于 的任意实数
C．﹣1 D．不能确定【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．
【解答】解：∵y＝（2m﹣1） 是反比例函数，
∴ ，
解之得m＝±1．
又因为图象在第二，四象限，
所以2m﹣1＜0，
解得m＜ ，即m的值是﹣1．
故选：C．
【变式2】反比例函数 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3
【分析】根据反比例函数的性质解题．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：C．
【变式3】已知反比例函数y＝（m﹣1）xm2﹣2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
题型03 利用反比例函数的k求面积
【典例1】如图，反比例函数y＝﹣ 的图象与直线y＝kx（k＜0）的交点为A，B，过点A作y轴的平行线
与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，根据反比例函数的中心对称特点可
知△ABC的是面积2|k|．
【解答】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积＝2|k|＝2×4＝8．
故选：A．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函
数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4 ．
【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．
【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝ 的图象上，可得： ，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为：4
【变式2】如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，
1 2 1
PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】根据反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义得到S△POA ＝ ×4＝2，S△BOA ＝ ×2＝1，然
后利用S△POB ＝S△POA ﹣S△BOA 进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C 于点B，
2∴S△POA ＝ ×4＝2，S△BOA ＝ ×2＝1，
∴S△POB ＝2﹣1＝1．
故选：A．
【变式3】如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交
于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 9 ．
【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB
斜边 OA 的中点，且点 A 的坐标（﹣6，4），可得点 D 的坐标为（﹣3，2），代入双曲线
可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面
积．
【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3，2），
把（﹣3，2）代入双曲线 ，
可得k＝﹣6，
即双曲线解析式为y＝﹣ ，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y＝﹣ ，
y＝1，
即点C坐标为（﹣6，1），
∴AC＝3，
又∵OB＝6，
∴S△AOC ＝ ×AC×OB＝9．
故答案为：9．
【变式4】下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可．
【解答】解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy＝3，
B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，
C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：
阴影部分面积为：3+ ×（1+3）×2﹣ ﹣ ＝4，
D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为： ×1×6＝3，
阴影部分面积最大的是4．
故选：C．
题型04 利用面积求反比例函数的k
【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数 中，k是（ ）A．1.5 B．﹣1.5 C．3 D．﹣3
【分析】根据所给三角形的面积，得出 ，再根据所给图象即可解决问题．
【解答】解：因为△AOB的面积为1.5，
所以 ，
则k＝±3．
又因为反比例函数的图象在第一象限，
所以k＝3．
故选：C．
【变式1】如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点
B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，
所以S平行四边形ABCD ＝S矩形ADOE ，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE ＝|﹣k|，利用反比例函数图
象得到．
【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD ＝S矩形ADOE ，
而S矩形ADOE ＝|﹣k|，
∴|﹣k|＝6，
而k＜0，即k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．【变式2】如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝ ，反比例函数y
＝ 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（ ）
A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18
【分析】本题中求得S菱形ABCO ＝2S△CDO ，再根据 tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的
坐标，代入反比例函数即可解题
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF＝4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO ＝S△DEO ，
同理 S△BCD ＝S△CDE ，
∴S菱形ABCO ＝S△ADO +S△DEO +S△BCD +S△CDE ，
∴S菱形ABCO ＝2（S△DEO +S△CDE ）＝2S△CDO ＝60，
∵ ，
∴OF＝3x，
∴ ，∴OA＝OC＝5x，
∵ ，解得： ，
∴ ，
∴点C坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点C，
∴代入点C得：k＝﹣36，
故选：C．
【变式3】如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形 OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴
上，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积
是9，则k＝（ ）
A． B． C． D．12
【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出 B的横纵坐标的
积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（ ，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴ ＝k，∴E（a， ），
∵S△ODE ＝S矩形OCBA ﹣S△AOD ﹣S△OCE ﹣S△BDE ＝ab﹣ ﹣ k﹣ •（b﹣ ）＝9，
∴k＝ ，
故选：C．题型05 比较反比例函数值的大小
【典例1】若点A（﹣4，a），B（1，b），C（2，c）都在反比例 的图象上，则a，b，c大小关系正
确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【分析】根据所给反比例函数解析式，得出其函数图象所位于的象限，再结合反比例函数的性质即可解
决问题．
【解答】解：∵反比例函数的解析式为y＝ ，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
∵点B坐标为（1，b），点C坐标为（2，c），
∴点B和点C都在第一象限的图象上，且1＜2，
∴0＜c＜b．
∵点A的坐标为（﹣4，a），
∴点A在第三象限的图象上，
∴a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【变式1】已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（3，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可．
【解答】解：在反比例函数y＝ 中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x
的增大而增大，
∵C（3，y ）在第四象限，
3
∴y ＜0，
3
∵﹣2＜﹣1，
∴0＜y ＜y ，
1 2∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故选：C．
【变式2】已知点（x ，y ），（x ，y ）都在反比例函数 的图象上，且x ＜x ＜0，则有（ ）
1 1 2 2 2 1
A．y ＜y ＜0 B．y ＜y ＜0 C．0＜y ＜y D．0＜y ＜y
2 1 1 2 2 1 1 2
【分析】依据题意，根据反比例函数的增减性，进行判断即可得解．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴在每一象限内，反比例函数值y随x的增大而减小，
∵x ＜x ＜0，
2 1
∴y ＜y ＜0，
1 2
故选：B．
【变式3】在反比例函数 的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜0＜x 时，有y ＞
1 1 2 2 1 2 1
y ，则a的取值范围是（ ）
2
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜0 D．a＞0
【分析】先根据“当x ＜0＜x ，y ＞y ”得到反比例函数在二、四象限，进而得到2a﹣4＜0，求解即可
1 2 1 2
解答本题．
【解答】解：∵x ＜0＜x 时，y ＞y ，
1 2 1 2
∴反比例函数在二、四象限，
∴2a﹣4＜0，
解得：a＜2，
故选：A．
【变式4】若点A（x ，﹣2）、B（x ，1）、C（x ，4）都在反比例函数 的图象上，则x 、x 、
1 2 3 1 2
x 的大小关系是（ ）
3
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3
【分析】根据 可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y随x的增大而减小，由此
即可求解．
【解答】解：已知反比例函数解析式为 ，
∵k2+1＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y 随 x的增大而减小，
当 x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；
∵﹣2＜0，1＞0，4＞0
∴x ＜0，x ＞0，x ＞0，
1 2 3如图所示，
∵﹣2＜1＜4，
∴x ＜x ＜x ，
1 3 2
故选：C．
题型06 函数图象的共存问题
【典例1】在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数 位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数 位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的图象大致（ ）A． B．
C． D．
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y＝ 的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣ ＜0，得出b＞0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得
出c＜0，利用对称轴x＝﹣ ＜0，得出b＞0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝ 经过二、四象限，
故选：C．
【变式3】描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可知函数y＝ 在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规
律，把y＝ 向左平移1个单位得到y＝ ，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y＝ 在第一、三象限，对称中心为原点，
把y＝ 向左平移1个单位得到y＝ ，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
题型07 反比例函数与一次函数的交点问题
【典例1】如图，函数y ＝x﹣1和函数 的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y ＜y ，则x
1 1 2
的取值范围是（ ）A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出m、n的值，再根据函数图象即可求解．
【解答】解：∵M（m，1），N（n，﹣2）在函数y ＝x﹣1和函数 上，
1
∴m＝2，n＝﹣1，
即M（2，1），N（﹣1，﹣2），
则y ＜y 的范围如图中实线所示：
1 2
即x＜﹣1或 0＜x＜2．
故选：B．
【变式1】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数 图象交于点A（﹣1，2），B
（2，﹣1），则不等式 的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2 B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2 D．﹣1≤x＜0或x≥2
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数 图象下方时x
的取值即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象不在反比例函数 图象上
方时，x的取值范围是：﹣1≤x＜0或x≥2，∴不等式 的解集是：﹣1≤x＜0或x≥2，
故选：D．
【变式2】已知正比例函数y ＝﹣2x与反比例函数 ．对于实数m，当x＝m时，y ＞y ；当x＝m+1
1 1 2
时，y ＜y ，则m的取值范围为（ ）
1 2
A．m＜﹣2或0＜m＜2 B．﹣2＜m＜2
C．﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2 D．﹣2＜m＜0或m＞2
【分析】先求出两个函数的交点坐标，根据两个函数的性质解答即可．
【解答】解：联立方程组 ，解得 或 ，
列函数的交点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4），
∵当x＝m时，y ＞y ；
1 2
∴m＜﹣2，或0＜m＜2，
∵当x＝m+1时，y ＜y ，
1 2
∴﹣2＜m+1＜0或m+1＞2，
解得：﹣3＜m＜﹣1，或m＞1．
∴﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2．
故选：C．
【变式3】如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（﹣3，
a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP ＝4S△OBD ，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为 利用三角形面积公式计算
出m值即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 图象交于点A（﹣
3，a），B（1，3），
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为 ，
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2），
∴ ，
∴S△OCP ＝4S△OBD ＝4，
设点P的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 或 ．
1．对于反比例函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，5）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内
D．图象关于坐标原点中心对称
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可．
【解答】解：A、把x＝﹣2代入解析式得y＝5，所以点（﹣2，5）在函数图象上，故本选项正确，不符
合题意；
B、∵k＝﹣10＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、∵k＝﹣10＜0，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
2．已知反比例函数y＝（k﹣1）x|k|﹣5的图象在第一、三象限内，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．±4
【分析】根据反比例函数的定义和反比例函数的性质写出答案即可．
【解答】解：∵关于x的反比例函数y＝（k﹣1）x|k|﹣5，
∴|k|﹣5＝﹣1且k﹣1≠0，
∴k＝±4，
∵图象在第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
∴k＝4，
故选：C．
3．反比例函数y＝ 的图象经过点A（﹣1，2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．y＞﹣1 B．﹣1＜y＜0 C．y＜﹣2 D．﹣2＜y＜0
【分析】先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数的性质解答．
【解答】解：根据题意， ＝2，
解得k＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，
在第四象限内，y值随x的增大而增大，
∴y＞﹣ ，即y＞﹣2，
又∵函数图象在第四象限内，
∴y＜0，
∴函数值y的取值范围是﹣2＜y＜0．
故选：D．
4．直线y＝ax（a＞0）与双曲线 交于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，则代数式4x y ﹣3x y 的值是（
1 1 2 2 1 2 2 1
）
A．﹣3a B． C．﹣3 D．
【分析】先根据A（x ，y ）、B（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上得出x •y 、x •y 的值，再根据
1 1 2 2 1 1 2 2
直线与双曲线均关于原点对称可知x ＝﹣x ，y ＝﹣y ，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．
1 2 1 2【解答】解：∵A（x ，y ）、B（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，
1 1 2 2
∴x •y ＝x •y ＝3，
1 1 2 2
∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线 的图象均关于原点对称，
∴x ＝﹣x ，y ＝﹣y ，
1 2 1 2
∴原式＝﹣4x y +3x y ＝（﹣4）×3+3×3＝﹣3．
1 1 2 2
故选：C．
5．如图，A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平
行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC面积为S，则（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面
积S＝ |k|可知，S△AOC ＝S△BOD ＝ |k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD ＝
S△AOC ＝ |k|，S△BOC ＝S△BOD ＝ |k|，进而求出四边形ADBC的面积．
【解答】解：∵A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行
于y轴，
∴S△AOC ＝S△BOD ＝ ，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD ＝S△AOC ＝ ，S△BOC ＝S△BOD ＝ ，
∴四边形ADBC面积＝S△AOD +S△AOC +S△BOC +S△BOD ＝ ×4＝2．
故选：C．
6．若点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）都在反比例函数 （k＜0）的图象上，则有（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2【分析】先根据反比例函数y＝ 中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减
性，再根据三点横坐标的值即可判断出y ，y ，y 的大小．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中k＜0，
∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y ＞y ＞0，
2 1
∵1＞0，
∴y ＜0，
3
∴y ＞y ＞y ．
2 1 3
故选：C．
7．若函数 与y＝﹣2x﹣4的图象的交点坐标为（a，b），则 的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可．
【解答】解： ，
把①代入②得： ＝﹣2x﹣4，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴y＝﹣2，
交点坐标是（﹣1，﹣2），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴ ＝﹣1﹣1＝﹣2．
故选：B．
8．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝ 的图象与 O的一个交点，图中阴影部分的面积为10 ，则
该反比例函数的表达式为（ ）
⊙ πA．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积 ，即可求得圆
的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： r2＝10 ．
解得：r＝2 ． π π
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝ （k＜0）与 O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且 ＝r． ⊙
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣ ．
故选：D．
9．在平面直角坐标系中直线y＝x+2与反比例函数y＝﹣ 的图象有唯一公共点，若直线y＝x+m与反比例
函数y＝﹣ 的图象有2个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2 D．m＞2或m＜﹣2
【分析】根据反比例函数的对称性即可得知：直线 y＝x﹣2与反比例函数y＝﹣ 的图象有唯一公共点，
结合函数图象即可得出当直线y＝x+m在直线y＝x+2的上方或直线y＝x+m在直线y＝x﹣2的下方时，直线y＝x+m与反比例函数y＝﹣ 的图象有2个公共点，由此即可得出m的取值范围．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：直线y＝x﹣2与反比例函数y＝﹣ 的图象有唯一公共点，
∴当直线y＝x+m在直线y＝x+2的上方或直线y＝x+m在直线y＝x﹣2的下方时，直线y＝x+m与反比例
函数y＝﹣ 的图象有2个公共点，
∴m＞2或m＜﹣2．
故选：D．
10．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列
结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD ＝ ．其中正
确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围
成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|及三角形中位线的判定作答．
【解答】解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；
②根据A、B关于原点对称，S△ABC 为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；
③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；
④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于 ，所以错误．
因此正确的是：①②③，
故选：C．
11．当x＞0时，反比例函数y＝mx2m2+3m﹣6随x的减小而增大，则m的值为 1 ，图象在第 一、三 象
限．
【分析】根据反比例函数的性质由 x＞0，y随x的减小而增大，可得反比例函数的比例系数大于 0，即
m＞0，又由反比例函数的定义得到2m2+3m﹣6＝﹣1，再联立求解得出m的值，然后根据反比例函数的
图象性质得出所在的象限．
【解答】解：由题意得：当x＞0时，y随x的减小而增大，则m＞0；
又由反比例函数的定义得：2m2+3m﹣6＝﹣1，解得：m＝1．
则y＝ ，图象在第一、三象限．
故答案为：1；一、三．
12．设函数y＝x﹣2与 的图象的交点坐标为（m，n），则 的值为 ．
【分析】根据两个函数的交点分别满足两个函数解析式得到m﹣n＝2，mn＝2023，代入所求代数式进行
代值求解即可．
【解答】解：∵函数y＝x﹣2与 的图象的交点坐标为（m，n），
∴ ，
∴m﹣n＝2，mn＝2023，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax+b（a≠0）与双曲线y ＝ （k≠0）交于点A（﹣1，m），
1 2
B（2，﹣1）．则满足y ≤y 的x的取值范围 ﹣ 1 ≤ x ＜ 0 或 x ≥ 2 ．
1 2
【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：
当y ≤y 时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．
1 2
故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2．
14．反比例函数 的图象经过点（﹣2，a），（﹣1，b），（3，c），则a，b，c的大小关系
为 c ＞ a ＞ b ．
【分析】根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可．
【解答】解：由题意，反比例函数 在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵反比例函数的图象经过点（﹣2，a），（﹣1，b），（3，c），﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴c＞0＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例
函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4EC，且△ODE的面积是12，则k的
值为 5 ．
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形的性质以及BE＝4EC，表示出E、D两点的坐标，根据
S△ODE ＝S矩形OCBA ﹣S△AOD ﹣S△OCE ﹣S△BDE ＝12，求出B的横纵坐标的积，进而求出反比例函数的比例系
数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BE＝4EC，
∴E（a， b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴a• b＝k，∴D（ a，b），
∵S△ODE ＝S矩形OCBA ﹣S△AOD ﹣S△OCE ﹣S△BDE
＝ab﹣ • a•b﹣ •a• b﹣ •（a﹣ a）•（b﹣ b）
＝ ab＝12，
∴ab＝25，
∴k＝ ab＝5．
故答案为5．
16．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与反比例函数 的图象交于点B，与x轴交于点A，且
点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点C（m，2）在反比例函数 的图象上，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）根据一次函数解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析
式；
（2）先根据反比例函数求得点C的坐标，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，然后利用梯形的面积减去
两个三角形的面积即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）把x＝6代入y＝ x﹣2，
∴y＝ 6﹣2＝1．
∴B（6，1），
∵反比例函数y＝ 的图象过点B，
∴k＝6×1＝6，
∴反比例函数为y＝ ；
（2）把y＝0代入y＝ x﹣2，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∵点C（m，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝3，C（3，2），
作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∴S△ABC ＝S梯形BCDE ﹣S△ACD ﹣S△ABE ＝ （2+1）×（6﹣3）﹣ ×（4﹣3）×2﹣ （6﹣4）×1＝ ．
17．如图是函数y＝ 与函数y＝ 在第一象限内的图象，点p是y＝ 的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝ 的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝ 的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．
【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得
答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
【解答】（1）证明：∵点P在函数y＝ 上，
∴设P点坐标为（ ，m）．
∵点D在函数y＝ 上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（ ，m），
由题意，得BD＝ ，BP＝ ，
∴BP＝2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：∵S四边形OAPB ＝6，S△OBD ＝S△OAC ＝ ，
∴S四边形OCPD ＝S四边形PBOA ﹣S△OBD ﹣S△OAC ＝6﹣ ﹣ ＝3．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）x的图象上（点B的横坐标大
于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连
接OA，AB．
（1）求反比例函数y＝ 的表达式；
（2）若点D是OC的中点，求四边形OABC的面积．【分析】（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝ （x＞0），求出k，可得反比例函数的解析式；
（2）根据A点的坐标和点D是OC的中点，可以求得B点的横坐标，利用反比例函数的解析式可得点
B点纵坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝ （x＞0），
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为：y＝ ；
（2）∵A（2，4），点D为OC中点，
∴OD＝2，OC＝4，
∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝ ，
可得y＝2，
∴点B的坐标为（4，2），
∴S四边形OABC ＝S△AOD +S四边形ABCD ＝ ×2×4+ （2+4）×2＝10．
19．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A
的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出 B点的坐标，求出C点的坐标，再
根据三角形面积公式求即可；
（3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案．
【解答】解：（1）∵点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，
∴2+m＝1，即m＝﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴k＝2；
（2）∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
∴OC＝1，
解方程组 得： 或 ，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ + ＝ ；
（3）由图象可知不等式组 的解集为1＜x≤2．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x
轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式 的解集；
（3）点P为反比例函数y＝ 图象上的任意一点，若S△POC ＝3S△AOC ，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出S△AOC ，再根据S△POC ＝3S△AOC 求出S△POC ，即可求出．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）．
∴1＝3+m，
∴m＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
∵反比例函数 的图象过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
观察图象，不等式 的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴S△AOC ＝ ＝1，
∵S△POC ＝3S△AOC ，
∴S△POC ＝ ＝ ，
∴|y |＝3，
P
当点P的纵坐标为3时，则3＝ ，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝ ，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
