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专题13 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练
与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版 七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重
要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问
题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点
研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】
【解题技巧】
1、角度旋转问题解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；
②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直
角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平
分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ
平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求
∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在
直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向
旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF
平分∠BOD，求∠EOF的大小．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将
一直角三角板（ ）的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直
线 的上方．（注：本题旋转角度最多 ．）
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后，
______度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转，如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM
从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度
为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图 1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和
∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位
置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒
6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋
转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平
分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，
是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范
围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图 1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝
120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：
直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线
ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 1 0 或 4 0 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM
与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠
．
（1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数；
（2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠ 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠ 和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关
系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重
合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝
120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB
的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分
∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请
探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板 和直角三角板 ）如图
1所示放置，两个顶点重合于点 ， 与 重合，且 ， ， ，
．将三角板 绕着点 逆时针旋转一周，旋转过程中， 平分 ， 平分
，（ 和 均是指小于180°的角）探究 的度数．
（1）当三角板 绕点 旋转至如图2的位置时， 与 重合， ______°， ______°．
（2）三角板 绕点 旋转过程中， 的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，
请说明理由．（3）类比拓展：当 的度数为 时，其他条件不变，在旋转过程中，请直
接写出 的度数．（用含 的式子来表示）变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，
， ．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当 ， 时， ______， ______， ______；
② ______（用含有 或 的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有 或 的代数式表示）
(3)如图（4），当 ， 时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同
时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少
分钟时，∠MON的度数是40°？变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两
条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若
，则 是 的内半角．
（1）如图1，已知 ， ， 是 的内半角，则 ________；
（2）如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 得 ，当
旋转的角度 为何值时， 是 的内半角；
（3）已知 ，把一块含有 角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点 以3度/秒的速度按顺时
针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线 ， ， ， 能否构成内半角？若能，
请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x列方程。在旋转问题
中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型
的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解
的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片 ，点 、 分别在边 、 上，连接 ．将
对折，点 落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点 处，
得折痕 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片 按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，
点B、D折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在
射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，
点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，
PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．课后专项训练
1．（2022·偃师市实验中学初一月考）如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与
B,C重合),使点C落在长方形内部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____.
2．（2022·东平县实验中学初一期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若
∠CBD＝66°，则∠ABE＝_________.
3．（2022·重庆七年级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连
接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB
的度数是（ ）
A．18° B．20° C．36° D．45°
4．（2022·山西·初一期末）如图1，长方形纸片 ，点 分别在边 上，连接 ，将
对折，点 落在直线 上的点 处，的到折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点
处，得到折痕 .（1）求 的度数. （2）如图2，在（1）的基础上，将纸片展平，然后将
对折，点 落在直线 上的 处，得到折痕 ，猜想 和 的数量关系，并说明
理由.图1 图2
4．（2022·四川省金堂实验中学初一月考）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使
∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试
猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
5．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．
(1)如图1，若∠DCE=40°，则∠ACE= ．∠ACB= ．
(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的数量关系，并证明你的结论：
(3)若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转．①如图2，当旋转至BE AC时，则∠ACE= ．
②如图3，当旋转至BC AD时，则∠ACE= ．
6．（2022·上海·七年级专题练习）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，
CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝ °；
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：
①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝
；
②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图
3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ；
③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的
数量关系是 ．7．（2022·湖南株洲·七年级期末）点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角
三角板的直角顶点放在点 处．
(1)如图1，当三角板 的一边 与射线 重合时，则 ________；
(2)如图2，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的平分线，求 和
的度数；(3)将三角板 绕点 逆时针旋转至图3所示的位置时， ，求 的度数．
8．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的
两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．9．（2022·江苏连云港·七年级期末）【问题提出】
七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．
(1)①填空：如图（1），用副三角板可以直接画出大于 小于 的角，它们是：
， ， ， ， ， ， ， ，______， ， ．
②如果用两副三角板能画出 吗？________．（填“能”或“不能”）
(2)【问题探究】如图（2），现有 、 角的两种模板， ， ，请设计一种方案，
只用给出的模板和铅笔画出 角．
小明想出了一个方案，利用 角模板画出 角．动手操作：如图（3），M、O、N三点在一条直线上，
的顶点A与点O重合， 边与射线 重合，如图所示，将 绕点O逆时针旋转 ，得
，再将 绕点O逆时针旋转 ，得 ，…，如此连续操作52次．再利用两个平角等
于一个周角，可得 的角，即： ．
请聪明的你设计一个方案，利用 角模板画出 角，并说明理由．
(3)【问题拓展】现将【问题探究】中两种模板按照如图（4）所示放置，即M、O、N三点在一条直线上，
与 的顶点A、D都与点O重合， 、 边与射线 重合．动手操作：将 绕点O以
每秒 的速度逆时针方向旋转一周，同时 也绕点O以每秒 的速度逆时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方随之停止转动．．设运动时间为t（秒）．
①当t为何值时， ？
②请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系（数量关系中不能含t）．
10．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图（ ）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)若 ，则 ________°；若∠ACB=130°，则 _________°．
(2)如图（b）所示，若两个同样的三角板，将 锐角的顶点A叠放在一起，则 与 有何数量关
系，请说明理由．
(3)如图（c）所示，已知 ， （ ， 都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则
与 有何数量关系，直接写出结论．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）如图， ，射线 以 的速度从 位置出发，射线以 的速度从 位置出发，设两条射线同时绕点 逆时针旋转 ．
(1)当 时，求 的度数；(2)若 ．①当三条射线 、 、 构成的三个度数大于 的
角中，有两个角相等，求此时 的值；②在射线 ， 转动过程中，射线 始终在 内部，且
平分 ，当 ，求 的值．
12．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）已知 ， ，OM，ON分别是
和 的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在 的内部，求 的度数；
(2)如图2，固定 ，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）．① 与旋转度数 有
怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时， 为直角？(3)如果 的位置和大小不变，
的边OD的位置不变，改变 的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转 （ ），如图
3，请直接写出 与旋转度数 之间的数量关系：_____．13．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3
个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是
∠AOB的“好好线”．
【理解运用】（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或
“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】 （2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针
旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋
转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t
＝ 秒．
14．（2022·江苏淮安·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝ ∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB
内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝ ∠BOC，所以射线OC是射线
OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线
OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则
∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC
也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重
合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条
射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
15．（2022·江苏无锡·七年级期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称
这条射线为这个角的一条三等分线，
(1)如图，已知 ， 是 的一条三等分线，．且 ，求 的度数；
(2)如图， ， 是 的一条三等分线（ ）， 是 的角平分线，是 的角平分线．若 以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值
时，射线 恰好是 的一条三等分线．
16．（2022·扬州市七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将
一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．（1）
将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON
所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程
中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，
∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
17．（2022·宿迁市初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个
直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试
猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
